MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcld Structured version   Unicode version

Theorem renegcld 9982
Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
renegcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 renegcl 9873 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   RRcr 9480   -ucneg 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  ltord2  10078  leord2  10079  eqord2  10080  recgt0  10382  prodge0  10385  riotaneg  10513  negiso  10514  infmrcl  10517  nnnegz  10863  modsub12d  12026  monoord2  12120  discr1  12284  discr  12285  recj  13039  reneg  13040  imcj  13047  imneg  13048  abslt  13229  absle  13230  o1lo1  13442  o1lo12  13443  icco1  13445  rlimrege0  13484  lo1sub  13535  iseraltlem2  13587  infcvgaux1i  13750  absefib  14015  efieq1re  14016  moddvds  14077  bitscmp  14172  bitsinv1lem  14175  mulgnegnn  16351  cnsubrg  18673  xrhmeo  21612  pjthlem1  22018  ivth2  22033  ovolshft  22088  shftmbl  22115  volsup2  22180  volivth  22182  mbfmulc2lem  22220  mbfposr  22225  mbfposb  22226  ismbf3d  22227  mbfmulc2  22236  mbfinf  22238  mbfi1fseqlem4  22291  mbfi1fseqlem5  22292  mbfi1fseqlem6  22293  mbfi1flimlem  22295  itg2monolem1  22323  iblposlem  22364  iblre  22366  itgreval  22369  itgneg  22376  i1fibl  22380  itgitg1  22381  itgle  22382  ibladd  22393  itgaddlem2  22396  iblabslem  22400  itgmulc2lem2  22405  itgmulc2  22406  dvferm2lem  22553  dvferm2  22554  rolle  22557  dvivth  22577  lhop2  22582  dvfsumge  22589  dvfsumlem2  22594  dvfsum2  22601  coseq0negpitopi  23062  tanabsge  23065  tanord  23091  tanregt0  23092  abslogimle  23127  logcj  23159  argimgt0  23165  logdiv2  23170  logcnlem3  23193  dvloglem  23197  logccv  23212  abscxpbnd  23295  logreclem  23301  asinlem3a  23398  asinneg  23414  atanlogsublem  23443  atantan  23451  atans2  23459  birthdaylem3  23481  cxplim  23499  amgmlem  23517  emcllem7  23529  lgsneg  23792  lgsdilem  23795  lgseisenlem1  23822  pntpbnd1  23969  pntibndlem2  23974  padicabvcxp  24015  ostth3  24021  axsegconlem9  24430  nvabs  25774  pjhthlem1  26507  xlt2addrd  27809  xrge0iifcnv  28150  xrge0iifiso  28152  xrge0iifhom  28154  dya2ub  28478  sgnmul  28745  signsply0  28772  zetacvg  28821  eldmgm  28828  lgamgulmlem2  28836  possumd  29357  climlec3  29361  itg2gt0cn  30310  ibladdnc  30312  itgaddnclem2  30314  iblabsnclem  30318  itgmulc2nclem2  30322  itgmulc2nc  30323  bddiblnc  30325  ftc1anclem5  30334  dvasin  30343  areacirclem1  30347  areacirclem4  30350  areacirclem5  30351  areacirc  30352  pellexlem6  31009  pell1234qrdich  31036  acongeq  31160  radcnvrat  31436  binomcxplemdvbinom  31499  binomcxplemnotnn0  31502  neglt  31707  fperiodmul  31743  stoweidlem1  32022  stoweidlem7  32028  stoweidlem13  32034  stoweidlem23  32044  stoweidlem34  32055  stoweidlem42  32063  stoweidlem47  32068  stirlinglem6  32100  stirlinglem10  32104  fourierdlem24  32152  fourierdlem39  32167  fourierdlem40  32168  fourierdlem43  32171  fourierdlem44  32172  fourierdlem46  32174  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem58  32186  fourierdlem62  32190  fourierdlem72  32200  fourierdlem78  32206  fourierdlem83  32211  fourierdlem85  32213  fourierdlem88  32216  fourierdlem92  32220  fourierdlem97  32225  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  fourierdlem109  32237  fourierdlem111  32239  fourierdlem112  32240  sqwvfoura  32250  etransclem23  32279  etransclem46  32302  sigaradd  32322  dignn0flhalflem1  33490
  Copyright terms: Public domain W3C validator