MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcld Structured version   Unicode version

Theorem renegcld 9987
Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
renegcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 renegcl 9882 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   RRcr 9489   -ucneg 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-ltxr 9631  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  ltord2  10083  leord2  10084  eqord2  10085  recgt0  10387  prodge0  10390  riotaneg  10519  negiso  10520  infmrcl  10523  nnnegz  10868  modsub12d  12018  monoord2  12112  discr1  12276  discr  12277  recj  12931  reneg  12932  imcj  12939  imneg  12940  abslt  13121  absle  13122  o1lo1  13334  o1lo12  13335  icco1  13337  rlimrege0  13376  lo1sub  13427  iseraltlem2  13479  infcvgaux1i  13642  absefib  13805  efieq1re  13806  moddvds  13865  bitscmp  13960  bitsinv1lem  13963  mulgnegnn  16021  cnsubrg  18346  xrhmeo  21312  pjthlem1  21718  ivth2  21733  ovolshft  21788  shftmbl  21815  volsup2  21880  volivth  21882  mbfmulc2lem  21920  mbfposr  21925  mbfposb  21926  ismbf3d  21927  mbfmulc2  21936  mbfinf  21938  mbfi1fseqlem4  21991  mbfi1fseqlem5  21992  mbfi1fseqlem6  21993  mbfi1flimlem  21995  itg2monolem1  22023  iblposlem  22064  iblre  22066  itgreval  22069  itgneg  22076  i1fibl  22080  itgitg1  22081  itgle  22082  ibladd  22093  itgaddlem2  22096  iblabslem  22100  itgmulc2lem2  22105  itgmulc2  22106  dvferm2lem  22253  dvferm2  22254  rolle  22257  dvivth  22277  lhop2  22282  dvfsumge  22289  dvfsumlem2  22294  dvfsum2  22301  coseq0negpitopi  22761  tanabsge  22764  tanord  22790  tanregt0  22791  abslogimle  22826  logcj  22856  argimgt0  22862  logdiv2  22867  logcnlem3  22890  dvloglem  22894  logccv  22909  abscxpbnd  22992  logreclem  23015  asinlem3a  23066  asinneg  23082  atanlogsublem  23111  atantan  23119  atans2  23127  birthdaylem3  23148  cxplim  23166  amgmlem  23184  emcllem7  23196  lgsneg  23459  lgsdilem  23462  lgseisenlem1  23489  pntpbnd1  23636  pntibndlem2  23641  padicabvcxp  23682  ostth3  23688  axsegconlem9  24093  nvabs  25441  pjhthlem1  26174  xlt2addrd  27443  xrge0iifcnv  27781  xrge0iifiso  27783  xrge0iifhom  27785  dya2ub  28107  sgnmul  28347  signsply0  28374  zetacvg  28423  eldmgm  28430  lgamgulmlem2  28438  possumd  28983  climlec3  28988  itg2gt0cn  30038  ibladdnc  30040  itgaddnclem2  30042  iblabsnclem  30046  itgmulc2nclem2  30050  itgmulc2nc  30051  bddiblnc  30053  ftc1anclem5  30062  dvasin  30071  areacirclem1  30075  areacirclem4  30078  areacirclem5  30079  areacirc  30080  pellexlem6  30738  pell1234qrdich  30765  acongeq  30889  radcnvrat  31164  neglt  31412  fperiodmul  31449  stoweidlem1  31668  stoweidlem7  31674  stoweidlem13  31680  stoweidlem23  31690  stoweidlem34  31701  stoweidlem42  31709  stoweidlem47  31714  stirlinglem6  31746  stirlinglem10  31750  fourierdlem24  31798  fourierdlem39  31813  fourierdlem40  31814  fourierdlem43  31817  fourierdlem44  31818  fourierdlem46  31820  fourierdlem48  31822  fourierdlem49  31823  fourierdlem58  31832  fourierdlem62  31836  fourierdlem72  31846  fourierdlem78  31852  fourierdlem83  31857  fourierdlem85  31859  fourierdlem88  31862  fourierdlem92  31866  fourierdlem97  31871  fourierdlem103  31877  fourierdlem104  31878  fourierdlem109  31883  fourierdlem111  31885  fourierdlem112  31886  sqwvfoura  31896  sigaradd  31917
  Copyright terms: Public domain W3C validator