MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcld Structured version   Unicode version

Theorem renegcld 9975
Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
renegcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 renegcl 9871 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   RRcr 9480   -ucneg 9795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  ltord2  10071  leord2  10072  eqord2  10073  recgt0  10375  prodge0  10378  riotaneg  10507  negiso  10508  infmrcl  10511  nnnegz  10856  modsub12d  12000  monoord2  12094  discr1  12257  discr  12258  recj  12907  reneg  12908  imcj  12915  imneg  12916  abslt  13096  absle  13097  o1lo1  13309  o1lo12  13310  icco1  13312  rlimrege0  13351  lo1sub  13402  iseraltlem2  13454  infcvgaux1i  13620  absefib  13783  efieq1re  13784  moddvds  13843  bitscmp  13936  bitsinv1lem  13939  mulgnegnn  15945  cnsubrg  18239  xrhmeo  21174  pjthlem1  21580  ivth2  21595  ovolshft  21650  shftmbl  21677  volsup2  21742  volivth  21744  mbfmulc2lem  21782  mbfposr  21787  mbfposb  21788  ismbf3d  21789  mbfmulc2  21798  mbfinf  21800  mbfi1fseqlem4  21853  mbfi1fseqlem5  21854  mbfi1fseqlem6  21855  mbfi1flimlem  21857  itg2monolem1  21885  iblposlem  21926  iblre  21928  itgreval  21931  itgneg  21938  i1fibl  21942  itgitg1  21943  itgle  21944  ibladd  21955  itgaddlem2  21958  iblabslem  21962  itgmulc2lem2  21967  itgmulc2  21968  dvferm2lem  22115  dvferm2  22116  rolle  22119  dvivth  22139  lhop2  22144  dvfsumge  22151  dvfsumlem2  22156  dvfsum2  22163  coseq0negpitopi  22622  tanabsge  22625  tanord  22651  tanregt0  22652  abslogimle  22682  logcj  22712  argimgt0  22718  logdiv2  22723  logcnlem3  22746  dvloglem  22750  logccv  22765  abscxpbnd  22848  logreclem  22871  asinlem3a  22922  asinneg  22938  atanlogsublem  22967  atantan  22975  atans2  22983  birthdaylem3  23004  cxplim  23022  amgmlem  23040  emcllem7  23052  lgsneg  23315  lgsdilem  23318  lgseisenlem1  23345  pntpbnd1  23492  pntibndlem2  23497  padicabvcxp  23538  ostth3  23544  axsegconlem9  23897  nvabs  25238  pjhthlem1  25971  xlt2addrd  27232  xrge0iifcnv  27537  xrge0iifiso  27539  xrge0iifhom  27541  dya2ub  27867  sgnmul  28107  signsply0  28134  zetacvg  28183  eldmgm  28190  lgamgulmlem2  28198  possumd  28578  climlec3  28583  itg2gt0cn  29634  ibladdnc  29636  itgaddnclem2  29638  iblabsnclem  29642  itgmulc2nclem2  29646  itgmulc2nc  29647  bddiblnc  29649  ftc1anclem5  29658  dvasin  29667  areacirclem1  29671  areacirclem4  29674  areacirclem5  29675  areacirc  29676  pellexlem6  30361  pell1234qrdich  30388  acongeq  30512  neglt  30999  fperiodmul  31036  stoweidlem1  31256  stoweidlem7  31262  stoweidlem13  31268  stoweidlem23  31278  stoweidlem34  31289  stoweidlem42  31297  stoweidlem47  31302  stirlinglem6  31334  stirlinglem10  31338  fourierdlem24  31386  fourierdlem39  31401  fourierdlem40  31402  fourierdlem43  31405  fourierdlem44  31406  fourierdlem46  31408  fourierdlem48  31410  fourierdlem49  31411  fourierdlem56  31418  fourierdlem58  31420  fourierdlem62  31424  fourierdlem72  31434  fourierdlem78  31440  fourierdlem83  31445  fourierdlem85  31447  fourierdlem88  31450  fourierdlem92  31454  fourierdlem97  31459  fourierdlem103  31465  fourierdlem104  31466  fourierdlem109  31471  fourierdlem111  31473  fourierdlem112  31474  sqwvfoura  31484  sigaradd  31505
  Copyright terms: Public domain W3C validator