Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaradd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Subtracting (double) area of 𝐴𝐷𝐶 from 𝐴𝐵𝐶 yields the (double) area of 𝐷𝐵𝐶. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sigaradd (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp1d 1066 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31simp3d 1068 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 sharhght.b . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
54simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
62, 3, 5nnncan1d 10305 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐶))
76oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
81simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
98, 5subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
102, 3subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
112, 5subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
12 sharhght.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1312sigarms 39694 . . . . . 6 (((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
149, 10, 11, 13syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐴𝐶) − (𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
157, 14eqtr3d 2646 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))))
1612sigarac 39690 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
1711, 9, 16syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
184simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
1917, 18eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = 0)
2019negeqd 10154 . . . . . 6 (𝜑 → --((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = -0)
219, 11jca 553 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐷) ∈ ℂ))
2212, 21sigarimcd 39700 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) ∈ ℂ)
2322negnegd 10262 . . . . . 6 (𝜑 → --((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)))
24 neg0 10206 . . . . . . 7 -0 = 0
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -0 = 0)
2620, 23, 253eqtr3d 2652 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷)) = 0)
2726oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐷))) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − 0))
289, 10jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ))
2912, 28sigarimcd 39700 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
3029subid1d 10260 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)) − 0) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
3115, 27, 303eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
328, 5, 3nnncan2d 10306 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶)) = (𝐵𝐷))
3332oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐴𝐶)))
348, 3subcld 10271 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
355, 3subcld 10271 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
3612sigarmf 39692 . . . 4 (((𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))))
3734, 10, 35, 36syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐶) − (𝐷𝐶))𝐺(𝐴𝐶)) = (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))))
3831, 33, 373eqtr2rd 2651 . 2 (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
393, 5subcld 10271 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
40 1red 9934 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4140renegcld 10336 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
4212sigarls 39695 . . . 4 (((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1))
439, 39, 41, 42syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1))
4439mulm1d 10361 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · (𝐶𝐷)) = -(𝐶𝐷))
45 1cnd 9935 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4645negcld 10258 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4746, 39mulcomd 9940 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · (𝐶𝐷)) = ((𝐶𝐷) · -1))
483, 5negsubdi2d 10287 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
4944, 47, 483eqtr3d 2652 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷) · -1) = (𝐷𝐶))
5049oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺((𝐶𝐷) · -1)) = ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)))
519, 39jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ))
5212, 51sigarimcd 39700 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) ∈ ℂ)
5352mulm1d 10361 . . . 4 (𝜑 → (-1 · ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷))) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5452, 46mulcomd 9940 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1) = (-1 · ((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷))))
5512sigarac 39690 . . . . 5 (((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5639, 9, 55syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = -((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)))
5753, 54, 563eqtr4d 2654 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝐷)𝐺(𝐶𝐷)) · -1) = ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)))
5843, 50, 573eqtr3d 2652 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐷)𝐺(𝐷𝐶)) = ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)))
5912sigarperm 39698 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
603, 8, 5, 59syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
6138, 58, 603eqtrd 2648 1 (𝜑 → (((𝐵𝐶)𝐺(𝐴𝐶)) − ((𝐷𝐶)𝐺(𝐴𝐶))) = ((𝐵𝐶)𝐺(𝐷𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  ∗ccj 13684  ℑcim 13686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689 This theorem is referenced by:  cevathlem2  39706
 Copyright terms: Public domain W3C validator