Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnegnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnegnn 17374
 Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnegnn.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnegnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn
StepHypRef Expression
1 nncn 10905 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21negnegd 10262 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 = 𝑁)
32adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
43fveq2d 6107 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
54fveq2d 6107 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6 nnnegz 11257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7 mulg1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10 mulgnegnn.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
11 mulg1.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2610 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
137, 8, 9, 10, 11, 12mulgval 17366 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
146, 13sylan 487 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
15 nnne0 10930 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16 negeq0 10214 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
1716necon3abid 2818 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
1915, 18mpbid 221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
2019iffalsed 4047 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))))
21 nnre 10904 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221renegcld 10336 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23 nngt0 10926 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
2421lt0neg2d 10477 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
2523, 24mpbid 221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26 0re 9919 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
27 ltnsym 10014 . . . . . . . 8 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2826, 27mpan2 703 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2922, 25, 28sylc 63 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
3029iffalsed 4047 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3120, 30eqtrd 2644 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3231adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3314, 32eqtrd 2644 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
347, 8, 11, 12mulgnn 17370 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
3534fveq2d 6107 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
365, 33, 353eqtr4d 2654 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℤcz 11254  seqcseq 12663  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  invgcminusg 17246  .gcmg 17363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-seq 12664  df-mulg 17364 This theorem is referenced by:  mulgsubcl  17378  mulgneg  17383  mulgneg2  17398  cnfldmulg  19597  tgpmulg  21707  xrsmulgzz  29009  archiabllem1b  29077
 Copyright terms: Public domain W3C validator