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Theorem atanlogsublem 22990
Description: Lemma for atanlogsub 22991. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsublem  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem atanlogsublem
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9549 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 ax-icn 9550 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  dom arctan )
4 atandm2 22952 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
53, 4sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
65simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
7 mulcl 9575 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
82, 6, 7sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
9 addcl 9573 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
101, 8, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
115simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1210, 11logcld 22702 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
13 subcl 9818 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
141, 8, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
155simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1614, 15logcld 22702 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
1712, 16imsubd 13012 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
182a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  _i  e.  CC )
1918, 6, 18subdid 10011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  (
_i  x.  _i )
) )
20 ixi 10177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
2120oveq2i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  A )  -  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A
)  -  -u 1
)
22 subneg 9867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
238, 1, 22sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
2421, 23syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  -  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
25 addcom 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  +  1 )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
268, 1, 25sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
2719, 24, 263eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2827fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
29 subcl 9818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  -  _i )  e.  CC )
306, 2, 29sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  -  _i )  e.  CC )
31 resub 12922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Re `  ( A  -  _i )
)  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  _i ) ) )
326, 2, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
Re `  _i )
) )
33 rei 12951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  _i )  =  0
3433oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  _i ) )  =  ( ( Re `  A
)  -  0 )
356recld 12989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
3635recnd 9621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3736subid1d 9918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  -  0 )  =  ( Re `  A ) )
3834, 37syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  _i ) )  =  ( Re `  A ) )
3932, 38eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( Re `  A
) )
40 gt0ne0 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
4135, 40sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  =/=  0 )
4239, 41eqnetrd 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0 )
43 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  -  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( Re `  0
) )
44 re0 12947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  0 )  =  0
4543, 44syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  0 )
4645necon3i 2707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0  ->  ( A  -  _i )  =/=  0 )
4742, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  -  _i )  =/=  0 )
48 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
49 0re 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
50 ltle 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  ->  0  <_  ( Re `  A ) ) )
5149, 35, 50sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  ->  0  <_  ( Re `  A
) ) )
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5352, 39breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  -  _i )
) )
54 logimul 22743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  ( A  -  _i )  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( A  -  _i )
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5530, 47, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5628, 55eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5756fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( Im `  (
( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
5830, 47logcld 22702 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( A  -  _i ) )  e.  CC )
59 halfpire 22606 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
6059recni 9607 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
612, 60mulcli 9600 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
62 imadd 12929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( A  -  _i )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
6358, 61, 62sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  -  _i ) )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
64 reim 12904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )
6560, 64ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
66 rere 12917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
6759, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6865, 67eqtr3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
6968oveq2i 6294 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi  /  2
) )
7063, 69syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  -  _i ) )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi  /  2
) ) )
7157, 70eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
72 addcl 9573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  +  _i )  e.  CC )
736, 2, 72sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  +  _i )  e.  CC )
74 mulcl 9575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  _i )
)  e.  CC )
752, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
76 reim 12904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +  _i )  e.  CC  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
78 readd 12921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Re `  ( A  +  _i )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) ) )
796, 2, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) ) )
8033oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  0 )
8136addid1d 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
8280, 81syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  _i ) )  =  ( Re `  A ) )
8379, 82eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Re `  A
) )
8477, 83eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( Re `  A
) )
8548, 84breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
86 logneg2 22744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  +  _i )
)  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  ( _i  x.  ( A  +  _i )
) ) )  -> 
( log `  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i )
) )  -  (
_i  x.  pi )
) )
8775, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  -u ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
8818, 6, 18adddid 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  _i ) ) )
8920oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  -u 1
)
90 negsub 9866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  +  -u
1 )  =  ( ( _i  x.  A
)  -  1 ) )
918, 1, 90sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  -  1 ) )
9289, 91syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  - 
1 ) )
9388, 92eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  1 ) )
9493negeqd 9813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  - 
1 ) )
95 negsubdi2 9877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( _i  x.  A )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
968, 1, 95sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
( _i  x.  A
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
9794, 96eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
9897fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  -u ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
9983, 41eqnetrd 2760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0 )
100 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Re `  0
) )
101100, 44syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  0 )
102101necon3i 2707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0  ->  ( A  +  _i )  =/=  0 )
10399, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  +  _i )  =/=  0 )
10452, 83breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  +  _i )
) )
105 logimul 22743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( A  +  _i )
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
10673, 103, 104, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
107106oveq1d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
10873, 103logcld 22702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
10961a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
110 picn 22602 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
1112, 110mulcli 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
112111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
113108, 109, 112addsubassd 9949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
114107, 113eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
11587, 98, 1143eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
116115fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( Im `  (
( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
11761, 111subcli 9894 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
118 imadd 12929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( A  +  _i )
)  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  ( pi  /  2
) )  -  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  ( Im `  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
119108, 117, 118sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  +  _i ) )  +  ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
120 imsub 12930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
12161, 111, 120mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  -  (
Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
122 reim 12904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
Re `  pi )  =  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
123110, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  pi )  =  ( Im `  (
_i  x.  pi )
)
124 pire 22601 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
125 rere 12917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
Re `  pi )  =  pi )
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  pi )  =  pi
127123, 126eqtr3i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( _i  x.  pi ) )  =  pi
12868, 127oveq12i 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  pi )
12960negcli 9886 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
130110, 60negsubi 9896 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
131 pidiv2halves 22609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
132110, 60, 60, 131subaddrii 9907 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
133130, 132eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
13460, 110, 129, 133subaddrii 9907 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
135121, 128, 1343eqtri 2500 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
136135oveq2i 6294 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  + 
-u ( pi  / 
2 ) )
137119, 136syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  +  _i ) )  +  ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  + 
-u ( pi  / 
2 ) ) )
138116, 137eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  -u (
pi  /  2 ) ) )
13971, 138oveq12d 6301 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) ) )
14058imcld 12990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  RR )
141140recnd 9621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  CC )
14260a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
143108imcld 12990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR )
144143recnd 9621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  CC )
145129a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  e.  CC )
146141, 142, 144, 145addsub4d 9976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  ( ( pi 
/  2 )  -  -u ( pi  /  2
) ) ) )
14760, 60subnegi 9897 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
148147, 131eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
149148oveq2i 6294 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  ( ( pi 
/  2 )  -  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )
150146, 149syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) )
15117, 139, 1503eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi ) )
152140, 143resubcld 9986 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  e.  RR )
153 readdcl 9574 . . . 4  |-  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR )
154152, 124, 153sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  RR )
155124renegcli 9879 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
156155recni 9607 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  CC
157156, 110negsubi 9896 . . . . 5  |-  ( -u pi  +  -u pi )  =  ( -u pi  -  pi )
158155a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
159143renegcld 9985 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR )
16030, 47logimcld 22703 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <_  pi ) )
161160simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )
16273, 103logimcld 22703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi ) )
163162simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi )
164 leneg 10054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi 
<-> 
-u pi  <_  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
165143, 124, 164sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi 
<-> 
-u pi  <_  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
166163, 165mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_ 
-u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
167158, 158, 140, 159, 161, 166ltleaddd 10171 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  +  -u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
168141, 144negsubd 9935 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  + 
-u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
169167, 168breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
170157, 169syl5eqbrr 4481 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  -  pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
171124a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
172158, 171, 152ltsubaddd 10147 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( -u pi  -  pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  <->  -u pi  <  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) ) )
173170, 172mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) )
174 0red 9596 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
1756imcld 12990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
176 peano2rem 9885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  e.  RR )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  e.  RR )
178 peano2re 9751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  +  1 )  e.  RR )
179175, 178syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  +  1 )  e.  RR )
180175ltm1d 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( Im `  A ) )
181175ltp1d 10475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  A )  <  ( ( Im `  A )  +  1 ) )
182177, 175, 179, 180, 181lttrd 9741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( ( Im
`  A )  +  1 ) )
183 ltdiv1 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Im `  A )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( Re
`  A ) ) )  ->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( ( Im
`  A )  +  1 )  <->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  /  ( Re `  A ) )  < 
( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) ) )
184177, 179, 35, 48, 183syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  A )  -  1 )  <  ( ( Im `  A )  +  1 )  <->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  /  ( Re `  A ) )  < 
( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) ) )
185182, 184mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  A )  -  1 )  /  ( Re
`  A ) )  <  ( ( ( Im `  A )  +  1 )  / 
( Re `  A
) ) )
186 imsub 12930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Im `  ( A  -  _i )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  _i ) ) )
1876, 2, 186sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  -  (
Im `  _i )
) )
188 imi 12952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Im
`  _i )  =  1
189188oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  _i ) )  =  ( ( Im `  A
)  -  1 )
190187, 189syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  -  1 ) )
191190, 39oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( ( Im
`  A )  - 
1 )  /  (
Re `  A )
) )
192 imadd 12929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Im `  ( A  +  _i )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) ) )
1936, 2, 192sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) ) )
194188oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) )  =  ( ( Im `  A
)  +  1 )
195193, 194syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  +  1 ) )
196195, 83oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) )
197185, 191, 1963brtr4d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) )  < 
( ( Im `  ( A  +  _i ) )  /  (
Re `  ( A  +  _i ) ) ) )
198 tanarg 22748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) ) )
19930, 42, 198syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) ) )
200 tanarg 22748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) ) )
20173, 99, 200syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) ) )
202197, 199, 2013brtr4d 4477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
20348, 39breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( A  -  _i )
) )
204 argregt0 22739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( A  -  _i )
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
20530, 203, 204syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
20648, 83breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( A  +  _i )
) )
207 argregt0 22739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( A  +  _i )
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
20873, 206, 207syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
209 tanord 22674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  <->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
210205, 208, 209syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
211202, 210mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
212144addid2d 9779 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  +  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
213211, 212breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( 0  +  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
214140, 143, 174ltsubaddd 10147 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  <  0  <->  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <  ( 0  +  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
215213, 214mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  <  0 )
216152, 174, 171, 215ltadd1dd 10162 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  <  (
0  +  pi ) )
217110addid2i 9766 . . . 4  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
218216, 217syl6breq 4486 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  <  pi )
219155rexri 9645 . . . 4  |-  -u pi  e.  RR*
220124rexri 9645 . . . 4  |-  pi  e.  RR*
221 elioo2 11569 . . . 4  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  /\  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  < 
pi ) ) )
222219, 220, 221mp2an 672 . . 3  |-  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  (
-u pi (,) pi ) 
<->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  /\  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  < 
pi ) )
223154, 173, 218, 222syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
224151, 223eqeltrd 2555 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   _ici 9493    + caddc 9494    x. cmul 9496   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   2c2 10584   (,)cioo 11528   Recre 12892   Imcim 12893   tanctan 13662   picpi 13663   logclog 22686  arctancatan 22939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-tan 13668  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-atan 22942
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