MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogsublem Structured version   Unicode version

Theorem atanlogsublem 22253
Description: Lemma for atanlogsub 22254. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsublem  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem atanlogsublem
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9336 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
2 ax-icn 9337 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3 simpl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  dom arctan )
4 atandm2 22215 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  ( 1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
53, 4sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  e.  CC  /\  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0  /\  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 ) )
65simp1d 995 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
7 mulcl 9362 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
82, 6, 7sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
9 addcl 9360 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
101, 8, 9sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
115simp3d 997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  +  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1210, 11logcld 21965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
13 subcl 9605 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( _i  x.  A
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( _i  x.  A
) )  e.  CC )
141, 8, 13sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
155simp2d 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
1  -  ( _i  x.  A ) )  =/=  0 )
1614, 15logcld 21965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  e.  CC )
1712, 16imsubd 12702 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) ) )
182a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  _i  e.  CC )
1918, 6, 18subdid 9796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  (
_i  x.  _i )
) )
20 ixi 9961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
2120oveq2i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  A )  -  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A
)  -  -u 1
)
22 subneg 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  -  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
238, 1, 22sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  -  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
2421, 23syl5eq 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  -  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  1 ) )
25 addcom 9551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  +  1 )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
268, 1, 25sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )
2719, 24, 263eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  _i ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) )
2827fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )
29 subcl 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  -  _i )  e.  CC )
306, 2, 29sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  -  _i )  e.  CC )
31 resub 12612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Re `  ( A  -  _i )
)  =  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  _i ) ) )
326, 2, 31sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
Re `  _i )
) )
33 rei 12641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  _i )  =  0
3433oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  -  ( Re `  _i ) )  =  ( ( Re `  A
)  -  0 )
356recld 12679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
3635recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3736subid1d 9704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  -  0 )  =  ( Re `  A ) )
3834, 37syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  _i ) )  =  ( Re `  A ) )
3932, 38eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( Re `  A
) )
40 gt0ne0 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  A ) )  -> 
( Re `  A
)  =/=  0 )
4135, 40sylancom 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  A )  =/=  0 )
4239, 41eqnetrd 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0 )
43 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  -  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  ( Re `  0
) )
44 re0 12637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  0 )  =  0
4543, 44syl6eq 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =  0 )
4645necon3i 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0  ->  ( A  -  _i )  =/=  0 )
4742, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  -  _i )  =/=  0 )
48 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  A
) )
49 0re 9382 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
50 ltle 9459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  ->  0  <_  ( Re `  A ) ) )
5149, 35, 50sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  ->  0  <_  ( Re `  A
) ) )
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
5352, 39breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  -  _i )
) )
54 logimul 22006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  ( A  -  _i )  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( A  -  _i )
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5530, 47, 53, 54syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5628, 55eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5756fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( Im `  (
( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
5830, 47logcld 21965 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( A  -  _i ) )  e.  CC )
59 halfpire 21869 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
6059recni 9394 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
612, 60mulcli 9387 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
62 imadd 12619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( A  -  _i )
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  ( A  -  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
6358, 61, 62sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  -  _i ) )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
64 reim 12594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )
6560, 64ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
66 rere 12607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
6759, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
6865, 67eqtr3i 2463 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
6968oveq2i 6101 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi  /  2
) )
7063, 69syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  -  _i ) )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi  /  2
) ) )
7157, 70eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
72 addcl 9360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  +  _i )  e.  CC )
736, 2, 72sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  +  _i )  e.  CC )
74 mulcl 9362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  _i )
)  e.  CC )
752, 73, 74sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
76 reim 12594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +  _i )  e.  CC  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
78 readd 12611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Re `  ( A  +  _i )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) ) )
796, 2, 78sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) ) )
8033oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  _i ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  0 )
8136addid1d 9565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
8280, 81syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  _i ) )  =  ( Re `  A ) )
8379, 82eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Re `  A
) )
8477, 83eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( Re `  A
) )
8548, 84breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Im `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) ) )
86 logneg2 22007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  ( A  +  _i )
)  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  ( _i  x.  ( A  +  _i )
) ) )  -> 
( log `  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i )
) )  -  (
_i  x.  pi )
) )
8775, 85, 86syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  -u ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
8818, 6, 18adddid 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  _i ) ) )
8920oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A
)  +  -u 1
)
90 negsub 9653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  A )  +  -u
1 )  =  ( ( _i  x.  A
)  -  1 ) )
918, 1, 90sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  -u 1
)  =  ( ( _i  x.  A )  -  1 ) )
9289, 91syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  - 
1 ) )
9388, 92eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( ( _i  x.  A )  -  1 ) )
9493negeqd 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  = 
-u ( ( _i  x.  A )  - 
1 ) )
95 negsubdi2 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( _i  x.  A )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) )
968, 1, 95sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
( _i  x.  A
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )
9794, 96eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
_i  x.  ( A  +  _i ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) )
9897fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  -u ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( log `  (
1  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
9983, 41eqnetrd 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0 )
100 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  ( Re `  0
) )
101100, 44syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +  _i )  =  0  ->  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =  0 )
102101necon3i 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0  ->  ( A  +  _i )  =/=  0 )
10399, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( A  +  _i )  =/=  0 )
10452, 83breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  +  _i )
) )
105 logimul 22006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  ( A  +  _i )  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  ( A  +  _i )
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
10673, 103, 104, 105syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
107106oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
10873, 103logcld 21965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( A  +  _i ) )  e.  CC )
10961a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) )  e.  CC )
110 picn 21865 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
1112, 110mulcli 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
112111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
113108, 109, 112addsubassd 9735 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
114107, 113eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  (
_i  x.  ( A  +  _i ) ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
11587, 98, 1143eqtr3d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )
116115fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( Im `  (
( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
11761, 111subcli 9680 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
118 imadd 12619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  ( A  +  _i )
)  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  ( pi  /  2
) )  -  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  ( A  +  _i )
)  +  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  ( Im `  ( ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
119108, 117, 118sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  +  _i ) )  +  ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
120 imsub 12620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
12161, 111, 120mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( Im
`  ( ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  -  (
Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
122 reim 12594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
Re `  pi )  =  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
123110, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  pi )  =  ( Im `  (
_i  x.  pi )
)
124 pire 21864 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
125 rere 12607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
Re `  pi )  =  pi )
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  pi )  =  pi
127123, 126eqtr3i 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( _i  x.  pi ) )  =  pi
12868, 127oveq12i 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  pi )
12960negcli 9672 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
130110, 60negsubi 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
131 pidiv2halves 21872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
132110, 60, 60, 131subaddrii 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
133130, 132eqtri 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
13460, 110, 129, 133subaddrii 9693 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
135121, 128, 1343eqtri 2465 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
136135oveq2i 6101 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  ( Im `  (
( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  + 
-u ( pi  / 
2 ) )
137119, 136syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( A  +  _i ) )  +  ( ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  + 
-u ( pi  / 
2 ) ) )
138116, 137eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  A )
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  +  -u (
pi  /  2 ) ) )
13971, 138oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) ) )
14058imcld 12680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  RR )
141140recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  CC )
14260a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
143108imcld 12680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR )
144143recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  CC )
145129a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
pi  /  2 )  e.  CC )
146141, 142, 144, 145addsub4d 9762 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  ( ( pi 
/  2 )  -  -u ( pi  /  2
) ) ) )
14760, 60subnegi 9683 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
148147, 131eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
149148oveq2i 6101 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  ( ( pi 
/  2 )  -  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )
150146, 149syl6eq 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  -  ( ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  +  -u ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) )
15117, 139, 1503eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi ) )
152140, 143resubcld 9772 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  e.  RR )
153 readdcl 9361 . . . 4  |-  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR )
154152, 124, 153sylancl 657 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  RR )
155124renegcli 9666 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
156155recni 9394 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  CC
157156, 110negsubi 9682 . . . . 5  |-  ( -u pi  +  -u pi )  =  ( -u pi  -  pi )
158155a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
159143renegcld 9771 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR )
16030, 47logimcld 21966 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <_  pi ) )
161160simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )
16273, 103logimcld 21966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi ) )
163162simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi )
164 leneg 9838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi 
<-> 
-u pi  <_  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
165143, 124, 164sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <_  pi 
<-> 
-u pi  <_  -u (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
166163, 165mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <_ 
-u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
167158, 158, 140, 159, 161, 166ltleaddd 9955 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  +  -u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
168141, 144negsubd 9721 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  + 
-u ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
169167, 168breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  +  -u pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
170157, 169syl5eqbrr 4323 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  -  pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
171124a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
172158, 171, 152ltsubaddd 9931 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( -u pi  -  pi )  <  ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  <->  -u pi  <  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) ) )
173170, 172mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi ) )
174 0red 9383 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  e.  RR )
1756imcld 12680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
176 peano2rem 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  e.  RR )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  e.  RR )
178 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  +  1 )  e.  RR )
179175, 178syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  +  1 )  e.  RR )
180175ltm1d 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( Im `  A ) )
181175ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  A )  <  ( ( Im `  A )  +  1 ) )
182177, 175, 179, 180, 181lttrd 9528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( ( Im
`  A )  +  1 ) )
183 ltdiv1 10189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Im `  A )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( Re `  A )  e.  RR  /\  0  <  ( Re
`  A ) ) )  ->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  <  ( ( Im
`  A )  +  1 )  <->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  /  ( Re `  A ) )  < 
( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) ) )
184177, 179, 35, 48, 183syl112anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  A )  -  1 )  <  ( ( Im `  A )  +  1 )  <->  ( (
( Im `  A
)  -  1 )  /  ( Re `  A ) )  < 
( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) ) )
185182, 184mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  A )  -  1 )  /  ( Re
`  A ) )  <  ( ( ( Im `  A )  +  1 )  / 
( Re `  A
) ) )
186 imsub 12620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Im `  ( A  -  _i )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  _i ) ) )
1876, 2, 186sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  -  (
Im `  _i )
) )
188 imi 12642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Im
`  _i )  =  1
189188oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  _i ) )  =  ( ( Im `  A
)  -  1 )
190187, 189syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  -  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  -  1 ) )
191190, 39oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) )  =  ( ( ( Im
`  A )  - 
1 )  /  (
Re `  A )
) )
192 imadd 12619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( Im `  ( A  +  _i )
)  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) ) )
1936, 2, 192sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) ) )
194188oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  _i ) )  =  ( ( Im `  A
)  +  1 )
195193, 194syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( A  +  _i ) )  =  ( ( Im `  A )  +  1 ) )
196195, 83oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) )  =  ( ( ( Im
`  A )  +  1 )  /  (
Re `  A )
) )
197185, 191, 1963brtr4d 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) )  < 
( ( Im `  ( A  +  _i ) )  /  (
Re `  ( A  +  _i ) ) ) )
198 tanarg 22011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  (
Re `  ( A  -  _i ) )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) ) )
19930, 42, 198syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  -  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  -  _i ) ) ) )
200 tanarg 22011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  (
Re `  ( A  +  _i ) )  =/=  0 )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) ) )
20173, 99, 200syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( A  +  _i )
)  /  ( Re
`  ( A  +  _i ) ) ) )
202197, 199, 2013brtr4d 4319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
20348, 39breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( A  -  _i )
) )
204 argregt0 22002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  _i )  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( A  -  _i )
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
20530, 203, 204syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
20648, 83breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  0  <  ( Re `  ( A  +  _i )
) )
207 argregt0 22002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  _i )  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( A  +  _i )
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
20873, 206, 207syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
209 tanord 21937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  /\  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) )  <->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
210205, 208, 209syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) )  <->  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) ) )  <  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
211202, 210mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
212144addid2d 9566 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
0  +  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )
213211, 212breqtrrd 4315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  < 
( 0  +  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) )
214140, 143, 174ltsubaddd 9931 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  <  0  <->  ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  <  ( 0  +  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) ) ) )
215213, 214mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  <  0 )
216152, 174, 171, 215ltadd1dd 9946 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  <  (
0  +  pi ) )
217110addid2i 9553 . . . 4  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
218216, 217syl6breq 4328 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  <  pi )
219155rexri 9432 . . . 4  |-  -u pi  e.  RR*
220124rexri 9432 . . . 4  |-  pi  e.  RR*
221 elioo2 11337 . . . 4  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  /\  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  < 
pi ) ) )
222219, 220, 221mp2an 667 . . 3  |-  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  (
-u pi (,) pi ) 
<->  ( ( ( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  /\  ( ( ( Im
`  ( log `  ( A  -  _i )
) )  -  (
Im `  ( log `  ( A  +  _i ) ) ) )  +  pi )  < 
pi ) )
223154, 173, 218, 222syl3anbrc 1167 . 2  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  ( A  -  _i ) ) )  -  ( Im
`  ( log `  ( A  +  _i )
) ) )  +  pi )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
224151, 223eqeltrd 2515 1  |-  ( ( A  e.  dom arctan  /\  0  <  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  A
) ) )  -  ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  A ) ) ) ) )  e.  (
-u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   (,)cioo 11296   Recre 12582   Imcim 12583   tanctan 13347   picpi 13348   logclog 21949  arctancatan 22202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-atan 22205
This theorem is referenced by:  atanlogsub  22254  atanbndlem  22263
  Copyright terms: Public domain W3C validator