Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem1 24850
 Description: Lemma for lgsdir2 24855. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9918 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 8re 10982 . . . . 5 8 ∈ ℝ
3 8pos 10998 . . . . 5 0 < 8
42, 3elrpii 11711 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 0le1 10430 . . . 4 0 ≤ 1
6 1lt8 11098 . . . 4 1 < 8
7 modid 12557 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
81, 4, 5, 6, 7mp4an 705 . . 3 (1 mod 8) = 1
9 8cn 10983 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1110oveq2i 6560 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312negcli 10228 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
149, 12negsubi 10238 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
15 7cn 10981 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1612, 15addcomi 10106 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = (7 + 1)
17 df-8 10962 . . . . . . . . . 10 8 = (7 + 1)
1816, 17eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 (1 + 7) = 8
199, 12, 15, 18subaddrii 10249 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
2014, 19eqtri 2632 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
219, 13, 20addcomli 10107 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
2211, 21eqtri 2632 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
2322oveq1i 6559 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
241renegcli 10221 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
25 1z 11284 . . . . 5 1 ∈ ℤ
26 modcyc 12567 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2724, 4, 25, 26mp3an 1416 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28 7re 10980 . . . . 5 7 ∈ ℝ
29 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
30 7pos 10997 . . . . . 6 0 < 7
3129, 28, 30ltleii 10039 . . . . 5 0 ≤ 7
32 7lt8 11092 . . . . 5 7 < 8
33 modid 12557 . . . . 5 (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3428, 4, 31, 32, 33mp4an 705 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3523, 27, 343eqtr3i 2640 . . 3 (-1 mod 8) = 7
368, 35pm3.2i 470 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
37 3re 10971 . . . 4 3 ∈ ℝ
38 3pos 10991 . . . . 5 0 < 3
3929, 37, 38ltleii 10039 . . . 4 0 ≤ 3
40 3lt8 11096 . . . 4 3 < 8
41 modid 12557 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
4237, 4, 39, 40, 41mp4an 705 . . 3 (3 mod 8) = 3
4310oveq2i 6560 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
44 3cn 10972 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
4544negcli 10228 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
469, 44negsubi 10238 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
47 5cn 10977 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
48 5p3e8 11043 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
4947, 44, 48addcomli 10107 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
509, 44, 47, 49subaddrii 10249 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
5146, 50eqtri 2632 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
529, 45, 51addcomli 10107 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
5343, 52eqtri 2632 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
5453oveq1i 6559 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
5537renegcli 10221 . . . . 5 -3 ∈ ℝ
56 modcyc 12567 . . . . 5 ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
5755, 4, 25, 56mp3an 1416 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
58 5re 10976 . . . . 5 5 ∈ ℝ
59 5pos 10995 . . . . . 6 0 < 5
6029, 58, 59ltleii 10039 . . . . 5 0 ≤ 5
61 5lt8 11094 . . . . 5 5 < 8
62 modid 12557 . . . . 5 (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
6358, 4, 60, 61, 62mp4an 705 . . . 4 (5 mod 8) = 5
6454, 57, 633eqtr3i 2640 . . 3 (-3 mod 8) = 5
6542, 64pm3.2i 470 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
6636, 65pm3.2i 470 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  3c3 10948  5c5 10950  7c7 10952  8c8 10953  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531 This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  24853  lgsdir2lem5  24854
 Copyright terms: Public domain W3C validator