MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 23724
Description: Lemma for lgsdir2 23729. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9612 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 10641 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 10657 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 11248 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 10097 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 10750 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 12023 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 673 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
9 8cn 10642 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 9616 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 9567 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9906 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9916 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7cn 10640 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1612, 15addcomi 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
17 df-8 10621 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1816, 17eqtr4i 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
199, 12, 15, 18subaddrii 9928 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2014, 19eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
219, 13, 20addcomli 9789 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2211, 21eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2322oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
241renegcli 9899 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
25 1z 10915 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
26 modcyc 12034 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2724, 4, 25, 26mp3an 1324 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
28 7re 10639 . . . . 5  |-  7  e.  RR
29 0re 9613 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
30 7pos 10656 . . . . . 6  |-  0  <  7
3129, 28, 30ltleii 9724 . . . . 5  |-  0  <_  7
32 7lt8 10744 . . . . 5  |-  7  <  8
33 modid 12023 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3428, 4, 31, 32, 33mp4an 673 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3523, 27, 343eqtr3i 2494 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
368, 35pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
37 3re 10630 . . . 4  |-  3  e.  RR
38 3pos 10650 . . . . 5  |-  0  <  3
3929, 37, 38ltleii 9724 . . . 4  |-  0  <_  3
40 3lt8 10748 . . . 4  |-  3  <  8
41 modid 12023 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4237, 4, 39, 40, 41mp4an 673 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4310oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
44 3cn 10631 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4544negcli 9906 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
469, 44negsubi 9916 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
47 5cn 10636 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
48 5p3e8 10695 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
4947, 44, 48addcomli 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
509, 44, 47, 49subaddrii 9928 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5146, 50eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
529, 45, 51addcomli 9789 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5343, 52eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5453oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5537renegcli 9899 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
56 modcyc 12034 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5755, 4, 25, 56mp3an 1324 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
58 5re 10635 . . . . 5  |-  5  e.  RR
59 5pos 10654 . . . . . 6  |-  0  <  5
6029, 58, 59ltleii 9724 . . . . 5  |-  0  <_  5
61 5lt8 10746 . . . . 5  |-  5  <  8
62 modid 12023 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6358, 4, 60, 61, 62mp4an 673 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6454, 57, 633eqtr3i 2494 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6542, 64pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6636, 65pm3.2i 455 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825   3c3 10607   5c5 10609   7c7 10611   8c8 10612   ZZcz 10885   RR+crp 11245    mod cmo 11999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11932  df-mod 12000
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  23727  lgsdir2lem5  23728
  Copyright terms: Public domain W3C validator