MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 23342
Description: Lemma for lgsdir2 23347. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9594 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 10619 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 10635 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 11222 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 10075 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 10728 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 11987 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 673 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
9 8cn 10620 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 9598 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 6294 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 9549 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9886 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9896 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7cn 10618 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1612, 15addcomi 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
17 df-8 10599 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1816, 17eqtr4i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
199, 12, 15, 18subaddrii 9907 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2014, 19eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
219, 13, 20addcomli 9770 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2211, 21eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2322oveq1i 6293 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
241renegcli 9879 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
25 1z 10893 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
26 modcyc 11998 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2724, 4, 25, 26mp3an 1324 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
28 7re 10617 . . . . 5  |-  7  e.  RR
29 0re 9595 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
30 7pos 10634 . . . . . 6  |-  0  <  7
3129, 28, 30ltleii 9706 . . . . 5  |-  0  <_  7
32 7lt8 10722 . . . . 5  |-  7  <  8
33 modid 11987 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3428, 4, 31, 32, 33mp4an 673 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3523, 27, 343eqtr3i 2504 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
368, 35pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
37 3re 10608 . . . 4  |-  3  e.  RR
38 3pos 10628 . . . . 5  |-  0  <  3
3929, 37, 38ltleii 9706 . . . 4  |-  0  <_  3
40 3lt8 10726 . . . 4  |-  3  <  8
41 modid 11987 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4237, 4, 39, 40, 41mp4an 673 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4310oveq2i 6294 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
44 3cn 10609 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4544negcli 9886 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
469, 44negsubi 9896 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
47 5cn 10614 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
48 5p3e8 10673 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
4947, 44, 48addcomli 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
509, 44, 47, 49subaddrii 9907 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5146, 50eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
529, 45, 51addcomli 9770 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5343, 52eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5453oveq1i 6293 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5537renegcli 9879 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
56 modcyc 11998 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5755, 4, 25, 56mp3an 1324 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
58 5re 10613 . . . . 5  |-  5  e.  RR
59 5pos 10632 . . . . . 6  |-  0  <  5
6029, 58, 59ltleii 9706 . . . . 5  |-  0  <_  5
61 5lt8 10724 . . . . 5  |-  5  <  8
62 modid 11987 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6358, 4, 60, 61, 62mp4an 673 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6454, 57, 633eqtr3i 2504 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6542, 64pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6636, 65pm3.2i 455 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   -ucneg 9805   3c3 10585   5c5 10587   7c7 10589   8c8 10590   ZZcz 10863   RR+crp 11219    mod cmo 11963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fl 11896  df-mod 11964
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  23345  lgsdir2lem5  23346
  Copyright terms: Public domain W3C validator