MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Unicode version

Theorem renegcli 9318
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 9320 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
renegcli  |-  -u A  e.  RR

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ax-rnegex 9017 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0 )
3 recn 9036 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4 df-neg 9250 . . . . . . 7  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2411 . . . . . 6  |-  ( -u A  =  x  <->  ( 0  -  A )  =  x )
6 0cn 9040 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
71recni 9058 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
8 subadd 9264 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
96, 7, 8mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
105, 9syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
12 eleq1a 2473 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  ->  -u A  e.  RR ) )
1311, 12sylbird 227 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A  +  x
)  =  0  ->  -u A  e.  RR ) )
1413rexlimiv 2784 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0  ->  -u A  e.  RR )
151, 2, 14mp2b 10 1  |-  -u A  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    - cmin 9247   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  resubcli  9319  renegcl  9320  recgt0ii  9872  inelr  9946  cju  9952  bernneq  11460  crre  11874  remim  11877  iseraltlem2  12431  iseraltlem3  12432  iseralt  12433  tanhbnd  12717  sinbnd2  12738  cosbnd2  12739  sincos2sgn  12750  dvdslelem  12849  divalglem1  12869  divalglem6  12873  modsubi  13363  xrhmeo  18924  xrhmph  18925  vitalilem2  19454  vitalilem4  19456  vitali  19458  mbfneg  19495  i1fsub  19553  itg1sub  19554  i1fibl  19652  itgitg1  19653  coseq0negpitopi  20364  cosq14gt0  20371  cosq14ge0  20372  pige3  20378  sinord  20389  recosf1o  20390  resinf1o  20391  tanord1  20392  tanregt0  20394  negpitopissre  20395  efif1olem3  20399  efif1olem4  20400  eff1o  20404  ellogrn  20410  logimclad  20423  logneg  20435  logcj  20454  argregt0  20458  argrege0  20459  argimgt0  20460  argimlt0  20461  logimul  20462  logneg2  20463  logcnlem3  20488  dvloglem  20492  logf1o2  20494  efopnlem2  20501  cxpsqrlem  20546  abscxpbnd  20590  ang180lem2  20605  ang180lem3  20606  logreclem  20613  isosctrlem1  20615  1cubrlem  20634  atanre  20678  asinneg  20679  asinsinlem  20684  asinsin  20685  acoscos  20686  asin1  20687  reasinsin  20689  acosbnd  20693  asinrecl  20695  acosrecl  20696  atandmcj  20702  atanlogaddlem  20706  atanlogsublem  20708  atanlogsub  20709  atantan  20716  atanbndlem  20718  atanbnd  20719  atan1  20721  leibpilem2  20734  leibpi  20735  leibpisum  20736  birthday  20746  wilthlem1  20804  wilthlem2  20805  basellem3  20818  basellem4  20819  ppiub  20941  lgsvalmod  21052  lgsdir2lem1  21060  lgsdir2lem4  21063  lgseisen  21090  ex-fl  21708  ipidsq  22162  ipasslem10  22293  hisubcomi  22559  normlem2  22566  normlem9  22573  hmopd  23478  subfacval2  24826  axlowdimlem7  25791  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  stoweidlem22  27638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator