Theorem renegcli 6576

Description: Closure law for negative of reals. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
renegcli	|- -uA e. RR

Proof of Theorem renegcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . 3 |- A e. RR
2		axrnegex 6436	. . 3 |- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. RR (A + x) = 0
4		recn 6466	. . . . 5 |- (x e. RR -> x e. CC)
5		0cn 6481	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
6	1	recni 6467	. . . . . . 7 |- A e. CC
7		subadd 6532	. . . . . . 7 |- ((0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC) -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
8	5, 6, 7	mp3an12 1181	. . . . . 6 |- (x e. CC -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
9		df-neg 6513	. . . . . . 7 |- -uA = (0 - A)
10	9	eqeq1i 1891	. . . . . 6 |- (-uA = x <-> (0 - A) = x)
11	8, 10	syl5bb 591	. . . . 5 |- (x e. CC -> (-uA = x <-> (A + x) = 0))
12	4, 11	syl 12	. . . 4 |- (x e. RR -> (-uA = x <-> (A + x) = 0))
13		eleq1a 1966	. . . 4 |- (x e. RR -> (-uA = x -> -uA e. RR))
14	12, 13	sylbird 222	. . 3 |- (x e. RR -> ((A + x) = 0 -> -uA e. RR))
15	14	r19.23aiv 2211	. 2 |- (E.x e. RR (A + x) = 0 -> -uA e. RR)
16	3, 15	ax-mp 7	1 |- -uA e. RR

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446

This theorem is referenced by:  renegcl 6600  ltsubaddiOLD 6770  ltnegi 6783  lenegi 6784  ltnegcon2i 6785  lesub0iOLD 6793  msqgt0i 6794  recgt0ii 6992  prodge0i 6998  elnnz1 7364  icoshftf1oii 7578  bernneq 7898  bernneqOLD 7899  discrlem1 7906  discrlem3 7908  sqrlem11 7933  inelr 7985  crulem 7986  crreczi 7991  nthruz 7996  cjcji 8028  recji 8032  imcji 8033  renegi 8044  imnegi 8046  abslti 8127  abslei 8128  infcvglem1 8482  infcvglem2 8483  infcvglem3 8484  dsupivthlem 8553  efgt0i 8669  eflegeolem2 8679  sincos2sgn 8746  znnen 8771  ipid 9702  ipasslem10 9840  minveclem12 9901  pilem1 10020  pilem2 10021  pilem3 10022  efifolem1 10076  efifolem5 10080  eff1o 10102  resslogrn 10107  pilog 10122  hisubcomi 10603  normlem2 10610  normlem9 10617  projlem5 10823  projlem8 10826  projlem11 10829  projlem13 10831  projlem15 10833  hmopd 11584  dvdslelem 13692  divalglem1 13697  divalglem6 13701  cntrsetlem 14999  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513

Copyright terms: Public domain