Theorem adddiri 9930

Description: Distributive law (right-distributivity). (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
axi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
axi.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
adddiri	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem adddiri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		axi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		axi.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		adddir 9910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1416	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-addcl 9875  ax-mulcom 9879  ax-distr 9882

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  numma  11433  binom2i  12836  3dvdsdec  14892  3dvdsdecOLD  14893  3dvds2dec  14894  3dvds2decOLD  14895  dec5nprm  15608  dec2nprm  15609  mod2xnegi  15613  karatsuba  15630  karatsubaOLD  15631  sincosq3sgn  24056  sincosq4sgn  24057  ang180lem2  24340  1cubrlem  24368  bposlem8  24816  2lgsoddprmlem3c  24937  2lgsoddprmlem3d  24938  normlem3  27353  problem2  30813  problem2OLD  30814  areaquad  36821  tgoldbachlt  40230  tgoldbachltOLD  40237