Theorem 3dvds2decOLD 14895

Description: Old version of 3dvds2dec 14894. Obsolete as of 1-Aug-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvds2decOLD	⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2decOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dvdsdec.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3dvdsdec.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	3decOLD 12915	. . . 4 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
4		sq10e99m1OLD 12914	. . . . . . . 8 ⊢ (10↑2) = (;99 + 1)
5	4	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((10↑2) · 𝐴) = ((;99 + 1) · 𝐴)
6		9nn0 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;99 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11181	. . . . . . . 8 ⊢ ;99 ∈ ℂ
9		ax-1cn 9873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	1	nn0cni 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	adddiri 9930	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 + 1) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
12	10	mulid2i 9922	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
13	12	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
14	5, 11, 13	3eqtri 2636	. . . . . 6 ⊢ ((10↑2) · 𝐴) = ((;99 · 𝐴) + 𝐴)
15		df-10OLD 10964	. . . . . . . 8 ⊢ 10 = (9 + 1)
16	15	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
17		9cn 10985	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
18	2	nn0cni 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
19	17, 9, 18	adddiri 9930	. . . . . . 7 ⊢ ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
20	18	mulid2i 9922	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 𝐵) = 𝐵
21	20	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
22	16, 19, 21	3eqtri 2636	. . . . . 6 ⊢ (10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
23	14, 22	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
24	23	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
25	8, 10	mulcli 9924	. . . . . 6 ⊢ (;99 · 𝐴) ∈ ℂ
26	17, 18	mulcli 9924	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐵) ∈ ℂ
27		add4 10135	. . . . . . 7 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
28	27	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((((;99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
29	25, 10, 26, 18, 28	mp4an 705	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
30	25, 26	addcli 9923	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
31	10, 18	addcli 9923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
32		3dvds2dec.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
34	30, 31, 33	addassi 9927	. . . . 5 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
35		9t11e99 11547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · ;11) = ;99
36	35	eqcomi 2619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;99 = (9 · ;11)
37	36	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ (;99 · 𝐴) = ((9 · ;11) · 𝐴)
38		1nn0 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
39	38, 38	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
40	39	nn0cni 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℂ
41	17, 40, 10	mulassi 9928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · ;11) · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
42	37, 41	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (;99 · 𝐴) = (9 · (;11 · 𝐴))
43	42	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
44	40, 10	mulcli 9924	. . . . . . . . 9 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℂ
45	17, 44, 18	adddii 9929	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
46	45	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · (;11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
47		3t3e9 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
48	47	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
49	48	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))
50		3cn 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
51	44, 18	addcli 9923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
52	50, 50, 51	mulassi 9928	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
53	49, 52	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
54	43, 46, 53	3eqtri 2636	. . . . . 6 ⊢ ((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
55	54	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (((;99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
56	29, 34, 55	3eqtri 2636	. . . 4 ⊢ ((((;99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
57	3, 24, 56	3eqtri 2636	. . 3 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
58	57	breq2i 4591	. 2 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
59		3z 11287	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
60	1	nn0zi 11279	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
61	2	nn0zi 11279	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
62		zaddcl 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
63	60, 61, 62	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
64	32	nn0zi 11279	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
65		zaddcl 11294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
66	63, 64, 65	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
67	39	nn0zi 11279	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℤ
68		zmulcl 11303	. . . . . . . 8 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (;11 · 𝐴) ∈ ℤ)
69	67, 60, 68	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 𝐴) ∈ ℤ
70		zaddcl 11294	. . . . . . 7 ⊢ (((;11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
71	69, 61, 70	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
72		zmulcl 11303	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((;11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
73	59, 71, 72	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
74		zmulcl 11303	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
75	59, 73, 74	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
76		dvdsmul1 14841	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
77	59, 73, 76	mp2an 704	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵)))
78	75, 77	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))
79		dvdsadd2b 14866	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
80	59, 66, 78, 79	mp3an 1416	. 2 ⊢ (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((;11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
81	58, 80	bitr4i 266	1 ⊢ (3 ∥ ;;𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  9c9 10954  10c10 10955  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-10OLD 10964  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822

This theorem is referenced by: (None)