Theorem 2lgsoddprmlem3d 24938

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 24939. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 10979	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 10983	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 9919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 10998	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 10028	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 10651	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 9924	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 9873	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 11040	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 10975	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 10972	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 12836	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 12824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 11058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 9928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 6561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 9930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 11037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 10107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2638	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 12823	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 10963	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 9924	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 9927	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 10960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 9945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2619	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2638	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 10177	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 6559	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 11056	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 9926	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2642	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  24939