Theorem karatsubaOLD 15631

Description: Obsolete version of karatsuba 15630 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
karatsubaOLD.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.r	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsubaOLD.t	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsubaOLD.e	⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsubaOLD.x	⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsubaOLD.y	⊢ ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsubaOLD.w	⊢ ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsubaOLD.z	⊢ ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍

Assertion

Ref	Expression
karatsubaOLD	⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsubaOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		karatsubaOLD.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		10nn0OLD 11194	. . . . . . 7 ⊢ 10 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 10 ∈ ℂ
5		karatsubaOLD.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		expcl 12740	. . . . . 6 ⊢ ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (10↑𝑀) ∈ ℂ
8	2, 7	mulcli 9924	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
9		karatsubaOLD.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11		karatsubaOLD.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
13	12, 7	mulcli 9924	. . . 4 ⊢ (𝐶 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
14		karatsubaOLD.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8, 10, 13, 15	muladdi 10360	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
17	8, 13	mulcli 9924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
18	15, 10	mulcli 9924	. . . 4 ⊢ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
19	8, 15	mulcli 9924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
20	13, 10	mulcli 9924	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
21	19, 20	addcli 9923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
22	17, 18, 21	add32i 10138	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
23	8, 12	mulcli 9924	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24		karatsubaOLD.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ0
25	24	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
26	23, 25, 7	adddiri 9930	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀)))
27	2, 7, 12	mul32i 10111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀))
28		karatsubaOLD.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
29	28	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀)) = (𝑅 · (10↑𝑀))
30	27, 29	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (10↑𝑀))
31	30	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆)
32		karatsubaOLD.w	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
33	31, 32	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
34	33	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = (𝑊 · (10↑𝑀))
35	8, 12, 7	mulassi 9928	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀)))
36	2, 12	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
37	36, 18, 25	add32i 10138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
38	28	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39		karatsubaOLD.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
40	10, 15, 39	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
41	38, 40	oveq12i 6561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
42	37, 41	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43		karatsubaOLD.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
44	2, 10, 12, 15	muladdi 10360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
45	42, 43, 44	3eqtr2i 2638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
46	36, 18	addcli 9923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
47	2, 15	mulcli 9924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
48	12, 10	mulcli 9924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
49	47, 48	addcli 9923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
50	46, 25, 49	addcani 10108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
51	45, 50	mpbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
52	51	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀))
53	47, 48, 7	adddiri 9930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)))
54	2, 15, 7	mul32i 10111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷)
55	12, 10, 7	mul32i 10111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)) = ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)
56	54, 55	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
57	52, 53, 56	3eqtri 2636	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
58	35, 57	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
59	26, 34, 58	3eqtr3ri 2641	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (10↑𝑀))
60	59, 40	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
61	16, 22, 60	3eqtri 2636	. 2 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
62		karatsubaOLD.x	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63		karatsubaOLD.y	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
64	62, 63	oveq12i 6561	. 2 ⊢ (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65		karatsubaOLD.z	. 2 ⊢ ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
66	61, 64, 65	3eqtr3i 2640	1 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820  10c10 10955  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-10OLD 10964  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

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