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Theorem normlem3 27353
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem3.7 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
normlem3 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem3
StepHypRef Expression
1 normlem3.6 . . 3 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
2 normlem3.5 . . . . . . 7 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
3 normlem1.3 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℋ
43, 3hicli 27322 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
52, 4eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
6 normlem3.7 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ
76recni 9931 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℂ
87sqcli 12806 . . . . . 6 (𝑅↑2) ∈ ℂ
95, 8mulcli 9924 . . . . 5 (𝐴 · (𝑅↑2)) ∈ ℂ
10 normlem1.1 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ ℂ
11 normlem1.2 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℋ
12 normlem2.4 . . . . . . . 8 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
1310, 11, 3, 12normlem2 27352 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
1413recni 9931 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1514, 7mulcli 9924 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) ∈ ℂ
169, 15addcomi 10106 . . . 4 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2)))
1710cjcli 13757 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1811, 3hicli 27322 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
1917, 18mulcli 9924 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
203, 11hicli 27322 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
2110, 20mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
2219, 21addcli 9923 . . . . . . . 8 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2322, 7mulneg1i 10355 . . . . . . 7 (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2412oveq1i 6559 . . . . . . 7 (𝐵 · 𝑅) = (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2522, 7mulneg2i 10356 . . . . . . 7 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = -((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · 𝑅)
2623, 24, 253eqtr4i 2642 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅)
277negcli 10228 . . . . . . 7 -𝑅 ∈ ℂ
2819, 21, 27adddiri 9930 . . . . . 6 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) · -𝑅) = ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅))
2917, 18, 27mul32i 10111 . . . . . . 7 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
3010, 20, 27mul32i 10111 . . . . . . 7 ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
3129, 30oveq12i 6561 . . . . . 6 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) · -𝑅) + ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) · -𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
3226, 28, 313eqtri 2636 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)))
332oveq2i 6560 . . . . . 6 ((𝑅↑2) · 𝐴) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
348, 5, 33mulcomli 9926 . . . . 5 (𝐴 · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3532, 34oveq12i 6561 . . . 4 ((𝐵 · 𝑅) + (𝐴 · (𝑅↑2))) = (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3617, 27mulcli 9924 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) ∈ ℂ
3736, 18mulcli 9924 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
3810, 27mulcli 9924 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) ∈ ℂ
3938, 20mulcli 9924 . . . . 5 ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
408, 4mulcli 9924 . . . . 5 ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4137, 39, 40addassi 9927 . . . 4 (((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4216, 35, 413eqtri 2636 . . 3 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) = ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
431, 42oveq12i 6561 . 2 (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
449, 15addcli 9923 . . 3 ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) ∈ ℂ
4511, 11hicli 27322 . . . 4 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
461, 45eqeltri 2684 . . 3 𝐶 ∈ ℂ
4744, 46addcomi 10106 . 2 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (𝐶 + ((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)))
4839, 40addcli 9923 . . 3 (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))) ∈ ℂ
4945, 37, 48addassi 9927 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ((((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))))
5043, 47, 493eqtr4i 2642 1 (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146  2c2 10947  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684   ℋchil 27160   ·ih csp 27163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hfi 27320  ax-his1 27323 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689 This theorem is referenced by:  normlem4  27354
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