Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvdsdecOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvdsdecOLD 14893
 Description: Obsolete proof of 3dvdsdec 14892 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvdsdecOLD (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdecOLD
StepHypRef Expression
1 dfdecOLD 11371 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 df-10OLD 10964 . . . . . . 7 10 = (9 + 1)
32oveq1i 6559 . . . . . 6 (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
4 9cn 10985 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
5 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6 3dvdsdec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
76nn0cni 11181 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
84, 5, 7adddiri 9930 . . . . . 6 ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
97mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 𝐴) = 𝐴
109oveq2i 6560 . . . . . 6 ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
113, 8, 103eqtri 2636 . . . . 5 (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
1211oveq1i 6559 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
134, 7mulcli 9924 . . . . 5 (9 · 𝐴) ∈ ℂ
14 3dvdsdec.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11181 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
1613, 7, 15addassi 9927 . . . 4 (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
171, 12, 163eqtri 2636 . . 3 𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
1817breq2i 4591 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
19 3z 11287 . . 3 3 ∈ ℤ
206nn0zi 11279 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
2114nn0zi 11279 . . . 4 𝐵 ∈ ℤ
22 zaddcl 11294 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
2320, 21, 22mp2an 704 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
24 9nn 11069 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
2524nnzi 11278 . . . . 5 9 ∈ ℤ
26 zmulcl 11303 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
2725, 20, 26mp2an 704 . . . 4 (9 · 𝐴) ∈ ℤ
28 zmulcl 11303 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
2919, 20, 28mp2an 704 . . . . . 6 (3 · 𝐴) ∈ ℤ
30 dvdsmul1 14841 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
3119, 29, 30mp2an 704 . . . . 5 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
32 3t3e9 11057 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
3332eqcomi 2619 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
3433oveq1i 6559 . . . . . 6 (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
35 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3635, 35, 7mulassi 9928 . . . . . 6 ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3734, 36eqtri 2632 . . . . 5 (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3831, 37breqtrri 4610 . . . 4 3 ∥ (9 · 𝐴)
3927, 38pm3.2i 470 . . 3 ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
40 dvdsadd2b 14866 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
4119, 23, 39, 40mp3an 1416 . 2 (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
4218, 41bitr4i 266 1 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  3c3 10948  9c9 10954  10c10 10955  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-10OLD 10964  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-dvds 14822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator