Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachlt 40230
 Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for small odd numbers (i.e. for all odd numbers less than a fixed big 𝑚 greater than 8 x 10^30). This is verified for m = 8.875694 x 10^30 by Helfgott, see tgblthelfgott 40229. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachlt 𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem tgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 8nn0 11192 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2 8nn 11068 . . . 4 8 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11394 . . 3 88 ∈ ℕ
4 10nn 11390 . . . 4 10 ∈ ℕ
5 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 9nn0 11193 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11388 . . . 4 29 ∈ ℕ0
8 nnexpcl 12735 . . . 4 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
94, 7, 8mp2an 704 . . 3 (10↑29) ∈ ℕ
103, 9nnmulcli 10921 . 2 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
11 id 22 . . 3 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → (88 · (10↑29)) ∈ ℕ)
12 breq2 4587 . . . . 5 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ↔ (8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29))))
13 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (𝑛 < 𝑚𝑛 < (88 · (10↑29))))
1413anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))))
1514imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) ↔ ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
1615ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ) ↔ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
1712, 16anbi12d 743 . . . 4 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )) ↔ ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))))
1817adantl 481 . . 3 (((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (88 · (10↑29))) → (((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )) ↔ ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))))
19 simplr 788 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 ∈ Odd )
20 simprl 790 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 7 < 𝑛)
21 simprr 792 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 < (88 · (10↑29)))
22 tgblthelfgott 40229 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )
2423ex 449 . . . . 5 (((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))
2524ralrimiva 2949 . . . 4 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))
262, 9nnmulcli 10921 . . . . . . 7 (8 · (10↑29)) ∈ ℕ
2726nngt0i 10931 . . . . . 6 0 < (8 · (10↑29))
2826nnrei 10906 . . . . . . 7 (8 · (10↑29)) ∈ ℝ
29 3nn0 11187 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
30 0nn0 11184 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11388 . . . . . . . . . 10 30 ∈ ℕ0
32 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℕ ∧ 30 ∈ ℕ0) → (10↑30) ∈ ℕ)
334, 31, 32mp2an 704 . . . . . . . . 9 (10↑30) ∈ ℕ
342, 33nnmulcli 10921 . . . . . . . 8 (8 · (10↑30)) ∈ ℕ
3534nnrei 10906 . . . . . . 7 (8 · (10↑30)) ∈ ℝ
3628, 35ltaddposi 10456 . . . . . 6 (0 < (8 · (10↑29)) ↔ (8 · (10↑30)) < ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29))))
3727, 36mpbi 219 . . . . 5 (8 · (10↑30)) < ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
38 dfdec10 11373 . . . . . . 7 88 = ((10 · 8) + 8)
3938oveq1i 6559 . . . . . 6 (88 · (10↑29)) = (((10 · 8) + 8) · (10↑29))
404, 2nnmulcli 10921 . . . . . . . 8 (10 · 8) ∈ ℕ
4140nncni 10907 . . . . . . 7 (10 · 8) ∈ ℂ
42 8cn 10983 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
439nncni 10907 . . . . . . 7 (10↑29) ∈ ℂ
4441, 42, 43adddiri 9930 . . . . . 6 (((10 · 8) + 8) · (10↑29)) = (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29)))
4541, 43mulcomi 9925 . . . . . . . . 9 ((10 · 8) · (10↑29)) = ((10↑29) · (10 · 8))
464nncni 10907 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℂ
4743, 46, 42mulassi 9928 . . . . . . . . 9 (((10↑29) · 10) · 8) = ((10↑29) · (10 · 8))
48 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℕ → 29 ∈ ℕ0)
5048, 49expp1d 12871 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℕ → (10↑(29 + 1)) = ((10↑29) · 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10↑(29 + 1)) = ((10↑29) · 10)
5251eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 ((10↑29) · 10) = (10↑(29 + 1))
5352oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 (((10↑29) · 10) · 8) = ((10↑(29 + 1)) · 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2638 . . . . . . . 8 ((10 · 8) · (10↑29)) = ((10↑(29 + 1)) · 8)
5554oveq1i 6559 . . . . . . 7 (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29))) = (((10↑(29 + 1)) · 8) + (8 · (10↑29)))
56 2p1e3 11028 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 11426 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (10↑(29 + 1)) = (10↑30)
6059oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((10↑(29 + 1)) · 8) = ((10↑30) · 8)
6160oveq1i 6559 . . . . . . 7 (((10↑(29 + 1)) · 8) + (8 · (10↑29))) = (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29)))
6233nncni 10907 . . . . . . . 8 (10↑30) ∈ ℂ
63 mulcom 9901 . . . . . . . . 9 (((10↑30) ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℂ) → ((10↑30) · 8) = (8 · (10↑30)))
6463oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (((10↑30) ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℂ) → (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29))))
6562, 42, 64mp2an 704 . . . . . . 7 (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6655, 61, 653eqtri 2636 . . . . . 6 (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6739, 44, 663eqtri 2636 . . . . 5 (88 · (10↑29)) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6837, 67breqtrri 4610 . . . 4 (8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29))
6925, 68jctil 558 . . 3 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
7011, 18, 69rspcedvd 3289 . 2 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV )))
7110, 70ax-mp 5 1 𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOddALTV ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ℕ0cn0 11169  ;cdc 11369  ↑cexp 12722   Odd codd 40076   GoldbachOddALTV cgboa 40169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-bgbltosilva 40226  ax-hgprmladder 40228 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-iccp 39952  df-even 40077  df-odd 40078  df-gbe 40170  df-gboa 40172 This theorem is referenced by:  tgoldbach  40232
 Copyright terms: Public domain W3C validator