MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Unicode version

Theorem rpreccld 11033
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 11010 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   1c1 9279    / cdiv 9989   RR+crp 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-rp 10988
This theorem is referenced by:  rprecred  11034  resqrex  12736  rlimno1  13127  supcvg  13314  harmonic  13317  expcnv  13322  eirrlem  13482  prmreclem5  13977  prmreclem6  13978  met1stc  20055  met2ndci  20056  nmoi2  20268  bcthlem5  20798  ovolsca  20957  vitali  21052  ismbf3d  21091  itg2seq  21179  itg2mulclem  21183  itg2mulc  21184  aalioulem3  21759  aaliou3lem8  21770  dvradcnv  21845  tanregt0  21954  divlogrlim  22039  advlogexp  22059  logtayllem  22063  divcxp  22091  cxpcn3lem  22144  loglesqr  22155  ang180lem2  22165  asinlem3  22225  leibpi  22296  rlimcnp2  22319  efrlim  22322  cxplim  22324  cxp2lim  22329  divsqrsumlem  22332  amgmlem  22342  emcllem2  22349  emcllem4  22351  emcllem5  22352  emcllem6  22353  fsumharmonic  22364  basellem3  22379  basellem6  22382  logfaclbnd  22520  bclbnd  22578  rplogsumlem2  22693  rpvmasumlem  22695  dchrisum0lem2a  22725  log2sumbnd  22752  logdivbnd  22764  pntlemo  22815  smcnlem  24027  minvecolem3  24212  minvecolem4  24216  logbrec  26400  esumdivc  26468  dya2ub  26621  lgamgulmlem5  26949  lgambdd  26953  iprodgam  27435  faclimlem1  27478  faclimlem3  27480  faclim  27481  iprodfac  27482  heiborlem3  28637  heiborlem6  28640  heiborlem8  28642  heibor  28645  irrapxlem4  29091  irrapxlem5  29092  stoweid  29783  wallispi  29790  stirlinglem1  29794  stirlinglem6  29799  stirlinglem10  29803  stirlinglem11  29804
  Copyright terms: Public domain W3C validator