MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Unicode version

Theorem rpreccld 11265
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 11242 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6283   1c1 9492    / cdiv 10205   RR+crp 11219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-rp 11220
This theorem is referenced by:  rprecred  11266  resqrex  13046  rlimno1  13438  supcvg  13629  harmonic  13632  expcnv  13637  eirrlem  13797  prmreclem5  14296  prmreclem6  14297  met1stc  20775  met2ndci  20776  nmoi2  20988  bcthlem5  21518  ovolsca  21677  vitali  21773  ismbf3d  21812  itg2seq  21900  itg2mulclem  21904  itg2mulc  21905  aalioulem3  22480  aaliou3lem8  22491  dvradcnv  22566  tanregt0  22675  divlogrlim  22760  advlogexp  22780  logtayllem  22784  divcxp  22812  cxpcn3lem  22865  loglesqrt  22876  ang180lem2  22886  asinlem3  22946  leibpi  23017  rlimcnp2  23040  efrlim  23043  cxplim  23045  cxp2lim  23050  divsqrtsumlem  23053  amgmlem  23063  emcllem2  23070  emcllem4  23072  emcllem5  23073  emcllem6  23074  fsumharmonic  23085  basellem3  23100  basellem6  23103  logfaclbnd  23241  bclbnd  23299  rplogsumlem2  23414  rpvmasumlem  23416  dchrisum0lem2a  23446  log2sumbnd  23473  logdivbnd  23485  pntlemo  23536  smcnlem  25299  minvecolem3  25484  minvecolem4  25488  logbrec  27677  esumdivc  27745  dya2ub  27897  lgamgulmlem5  28231  lgambdd  28235  iprodgam  28718  faclimlem1  28761  faclimlem3  28763  faclim  28764  iprodfac  28765  heiborlem3  29928  heiborlem6  29931  heiborlem8  29933  heibor  29936  irrapxlem4  30381  irrapxlem5  30382  oddfl  31052  ioodvbdlimc1lem2  31278  ioodvbdlimc2lem  31280  stoweid  31379  wallispi  31386  stirlinglem1  31390  stirlinglem6  31395  stirlinglem10  31399  stirlinglem11  31400  dirkertrigeqlem3  31416  dirkercncflem2  31420
  Copyright terms: Public domain W3C validator