MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Unicode version

Theorem rpreccld 11049
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 11026 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6103   1c1 9295    / cdiv 10005   RR+crp 11003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-rp 11004
This theorem is referenced by:  rprecred  11050  resqrex  12752  rlimno1  13143  supcvg  13330  harmonic  13333  expcnv  13338  eirrlem  13498  prmreclem5  13993  prmreclem6  13994  met1stc  20108  met2ndci  20109  nmoi2  20321  bcthlem5  20851  ovolsca  21010  vitali  21105  ismbf3d  21144  itg2seq  21232  itg2mulclem  21236  itg2mulc  21237  aalioulem3  21812  aaliou3lem8  21823  dvradcnv  21898  tanregt0  22007  divlogrlim  22092  advlogexp  22112  logtayllem  22116  divcxp  22144  cxpcn3lem  22197  loglesqr  22208  ang180lem2  22218  asinlem3  22278  leibpi  22349  rlimcnp2  22372  efrlim  22375  cxplim  22377  cxp2lim  22382  divsqrsumlem  22385  amgmlem  22395  emcllem2  22402  emcllem4  22404  emcllem5  22405  emcllem6  22406  fsumharmonic  22417  basellem3  22432  basellem6  22435  logfaclbnd  22573  bclbnd  22631  rplogsumlem2  22746  rpvmasumlem  22748  dchrisum0lem2a  22778  log2sumbnd  22805  logdivbnd  22817  pntlemo  22868  smcnlem  24104  minvecolem3  24289  minvecolem4  24293  logbrec  26476  esumdivc  26544  dya2ub  26697  lgamgulmlem5  27031  lgambdd  27035  iprodgam  27518  faclimlem1  27561  faclimlem3  27563  faclim  27564  iprodfac  27565  heiborlem3  28724  heiborlem6  28727  heiborlem8  28729  heibor  28732  irrapxlem4  29178  irrapxlem5  29179  stoweid  29870  wallispi  29877  stirlinglem1  29881  stirlinglem6  29886  stirlinglem10  29890  stirlinglem11  29891
  Copyright terms: Public domain W3C validator