MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Unicode version

Theorem rpreccld 11187
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpreccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpreccl 11163 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826  (class class class)co 6196   1c1 9404    / cdiv 10123   RR+crp 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-rp 11140
This theorem is referenced by:  rprecred  11188  resqrex  13086  rlimno1  13478  supcvg  13669  harmonic  13672  expcnv  13677  eirrlem  13939  prmreclem5  14440  prmreclem6  14441  met1stc  21109  met2ndci  21110  nmoi2  21322  bcthlem5  21852  ovolsca  22011  vitali  22107  ismbf3d  22146  itg2seq  22234  itg2mulclem  22238  itg2mulc  22239  aalioulem3  22815  aaliou3lem8  22826  dvradcnv  22901  tanregt0  23011  divlogrlim  23103  advlogexp  23123  logtayllem  23127  divcxp  23155  cxpcn3lem  23208  loglesqrt  23219  logbrec  23240  ang180lem2  23260  asinlem3  23318  leibpi  23389  rlimcnp2  23413  efrlim  23416  cxplim  23418  cxp2lim  23423  divsqrtsumlem  23426  amgmlem  23436  emcllem2  23443  emcllem4  23445  emcllem5  23446  emcllem6  23447  fsumharmonic  23458  basellem3  23473  basellem6  23476  logfaclbnd  23614  bclbnd  23672  rplogsumlem2  23787  rpvmasumlem  23789  dchrisum0lem2a  23819  log2sumbnd  23846  logdivbnd  23858  pntlemo  23909  smcnlem  25724  minvecolem3  25909  minvecolem4  25913  esumdivc  28231  dya2ub  28397  omssubadd  28427  lgamgulmlem5  28764  lgambdd  28768  iprodgam  29291  faclimlem1  29334  faclimlem3  29336  faclim  29337  iprodfac  29338  heiborlem3  30475  heiborlem6  30478  heiborlem8  30480  heibor  30483  irrapxlem4  30926  irrapxlem5  30927  oddfl  31626  ioodvbdlimc1lem2  31895  ioodvbdlimc2lem  31897  stoweid  32011  wallispi  32018  stirlinglem1  32022  stirlinglem6  32027  stirlinglem10  32031  stirlinglem11  32032  dirkertrigeqlem3  32048  dirkercncflem2  32052
  Copyright terms: Public domain W3C validator