Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyreres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyreres 23842
 Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyreres (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plybss 23754 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2 plyf 23758 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3 ffn 5958 . . . 4 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4 fnssresb 5917 . . . 4 (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
52, 3, 43syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
61, 5mpbird 246 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7 fvres 6117 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹𝑎))
87adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹𝑎))
9 recn 9905 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
112, 9, 10syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
12 plyrecj 23839 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
139, 12sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14 cjre 13727 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
1615fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
1713, 16eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹𝑎)) = (𝐹𝑎))
1811, 17cjrebd 13790 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
198, 18eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
2019ralrimiva 2949 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21 fnfvrnss 6297 . . 3 (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
226, 20, 21syl2anc 691 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23 df-f 5808 . 2 ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
246, 22, 23sylanbrc 695 1 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ∗ccj 13684  Polycply 23744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751 This theorem is referenced by:  aalioulem3  23893  taylthlem2  23932  plyrecld  29952
 Copyright terms: Public domain W3C validator