Theorem knoppndvlem12 31684

Description: Lemma for knoppndv 31695. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem12.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem12	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		2re 10967	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem12.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnre 10904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8		knoppndvlem12.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 31675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	abscld 14023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14		1lt2 11071	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
16		2t1e2 11053	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	eqcomi 2619	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (2 · 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 = (2 · 1))
19	6, 12	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20		2rp 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22		knoppndvlem12.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
23	1, 19, 21, 22	ltmul2dd 11804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
24	18, 23	eqbrtrd 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
25	3	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
26	6	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	12	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	mulassd 9942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
29	28	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
30	24, 29	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
31	1, 3, 13, 15, 30	lttrd 10077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
32	1, 31	jca 553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33		ltne 10013	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35		1p1e2 11011	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
37	36, 30	eqbrtrd 4605	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
38	1, 1, 13	ltaddsubd 10506	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
39	37, 38	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
40	34, 39	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem17  31689  knoppndvlem20  31692