MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Structured version   Unicode version

Theorem abscld 12905
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 12750 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   ` cfv 5406   CCcc 9267   RRcr 9268   abscabs 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12986  elo1mpt  12995  elo1mpt2  12996  elo1d  12997  o1bdd2  13002  o1bddrp  13003  rlimuni  13011  climuni  13013  o1eq  13031  rlimcld2  13039  rlimrege0  13040  climabs0  13046  mulcn2  13056  reccn2  13057  cn1lem  13058  cjcn2  13060  o1add  13074  o1mul  13075  o1sub  13076  rlimo1  13077  o1rlimmul  13079  climsqz  13101  climsqz2  13102  rlimsqzlem  13109  o1le  13113  climbdd  13132  caucvgrlem  13133  caucvgrlem2  13135  iseraltlem3  13144  iseralt  13145  fsumabs  13246  o1fsum  13258  iserabs  13260  cvgcmpce  13263  abscvgcvg  13264  divrcnv  13297  explecnv  13309  geomulcvg  13318  cvgrat  13325  mertenslem1  13326  mertenslem2  13327  efcllem  13345  efaddlem  13360  eftlub  13375  ef01bndlem  13450  sin01bnd  13451  cos01bnd  13452  absef  13463  alzdvds  13565  sqnprm  13766  pclem  13887  mul4sqlem  13996  xrsdsreclb  17703  gzrngunitlem  17720  gzrngunit  17721  prmirredlem  17758  prmirredlemOLD  17761  nm2dif  20057  blcvx  20216  recld2  20232  addcnlem  20281  cnheiborlem  20367  cnheibor  20368  cnllycmp  20369  cphsqrcl2  20546  ipcau2  20590  tchcphlem1  20591  ipcnlem2  20597  cncmet  20674  trirn  20740  rrxdstprj1  20749  pjthlem1  20765  volsup2  20926  mbfi1fseqlem6  21039  iblabslem  21146  iblabs  21147  iblabsr  21148  iblmulc2  21149  itgabs  21153  bddmulibl  21157  itgcn  21161  dveflem  21292  dvlip  21306  dvlipcn  21307  c1liplem1  21309  dveq0  21313  dv11cn  21314  lhop1lem  21326  dvfsumabs  21336  dvfsumrlim  21344  dvfsumrlim2  21345  ftc1a  21350  ftc1lem4  21352  plyeq0lem  21562  aalioulem2  21683  aalioulem3  21684  aalioulem4  21685  aalioulem5  21686  aalioulem6  21687  aaliou  21688  geolim3  21689  aaliou2b  21691  aaliou3lem9  21700  ulmbdd  21747  ulmcn  21748  ulmdvlem1  21749  mtest  21753  mtestbdd  21754  iblulm  21756  itgulm  21757  radcnvlem1  21762  radcnvlem2  21763  radcnvlt1  21767  radcnvle  21769  dvradcnv  21770  pserulm  21771  psercnlem2  21773  psercnlem1  21774  psercn  21775  pserdvlem1  21776  pserdvlem2  21777  pserdv  21778  abelthlem2  21781  abelthlem3  21782  abelthlem5  21784  abelthlem7  21787  abelthlem8  21788  sineq0  21867  tanregt0  21879  efif1olem3  21884  efif1olem4  21885  eff1olem  21888  cosargd  21941  cosarg0d  21942  argrege0  21944  abslogle  21951  logcnlem3  21973  logcnlem4  21974  efopnlem1  21985  logtayl  21989  abscxp2  22022  cxpcn3lem  22069  abscxpbnd  22075  cosangneg2d  22087  lawcoslem1  22095  lawcos  22096  pythag  22097  isosctrlem3  22102  ssscongptld  22104  chordthmlem3  22113  chordthmlem4  22114  chordthmlem5  22115  heron  22117  bndatandm  22208  efrlim  22247  rlimcxp  22251  o1cxp  22252  cxploglim2  22256  divsqrsumo1  22261  fsumharmonic  22289  ftalem1  22294  ftalem2  22295  ftalem3  22296  ftalem4  22297  ftalem5  22298  ftalem7  22300  logfacbnd3  22446  logfacrlim  22447  logexprlim  22448  dchrabs  22483  lgsdirprm  22552  lgsdilem2  22554  lgsne0  22556  lgsabs1  22557  mul2sq  22588  2sqlem3  22589  2sqblem  22600  vmadivsumb  22616  rplogsumlem2  22618  dchrisumlem2  22623  dchrisumlem3  22624  dchrisum  22625  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem2  22631  dchrvmasumlem3  22632  dchrvmasumiflem1  22634  dchrvmasumiflem2  22635  dchrisum0flblem1  22641  dchrisum0fno1  22644  dchrisum0lem1b  22648  dchrisum0lem1  22649  dchrisum0lem2a  22650  dchrisum0lem2  22651  dchrisum0lem3  22652  mudivsum  22663  mulogsumlem  22664  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  2vmadivsumlem  22673  log2sumbnd  22677  selberglem2  22679  selbergb  22682  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem1  22690  selberg3lem2  22691  selberg4lem1  22693  pntrsumo1  22698  pntrsumbnd  22699  pntrsumbnd2  22700  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntpbnd1a  22718  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemn  22733  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemo  22740  pntlem3  22742  pntleml  22744  smcnlem  23914  nmoub3i  23995  isblo3i  24023  htthlem  24141  bcs2  24406  pjhthlem1  24616  nmfnsetre  25103  nmfnleub2  25152  nmfnge0  25153  nmbdfnlbi  25275  nmcfnexi  25277  nmcfnlbi  25278  lnfnconi  25281  cnlnadjlem2  25294  cnlnadjlem7  25299  nmopcoadji  25327  leopnmid  25364  sqsscirc2  26192  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem5  26866  lgambdd  26870  lgamucov  26871  lgamcvg2  26888  subfaclim  26923  subfacval3  26924  sinccvglem  27163  fprodabs  27330  iblabsnclem  28296  iblabsnc  28297  iblmulc2nc  28298  itgabsnc  28302  bddiblnc  28303  ftc1cnnclem  28306  ftc1anclem1  28308  ftc1anclem2  28309  ftc1anclem4  28311  ftc1anclem5  28312  ftc1anclem6  28313  ftc1anclem7  28314  ftc1anclem8  28315  ftc1anc  28316  ftc2nc  28317  dvasin  28321  areacirclem1  28325  areacirclem2  28326  areacirclem4  28328  areacirclem5  28329  areacirc  28330  geomcau  28496  cntotbnd  28536  rrndstprj1  28570  rrndstprj2  28571  ismrer1  28578  rencldnfilem  29001  irrapxlem2  29006  irrapxlem4  29008  irrapxlem5  29009  pellexlem2  29013  pellexlem6  29017  pell14qrgt0  29042  congabseq  29159  acongeq  29168  modabsdifz  29176  jm2.26lem3  29192  dvconstbi  29450  stoweid  29701
  Copyright terms: Public domain W3C validator