MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Structured version   Unicode version

Theorem abscld 12914
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 12759 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5413   CCcc 9272   RRcr 9273   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12995  elo1mpt  13004  elo1mpt2  13005  elo1d  13006  o1bdd2  13011  o1bddrp  13012  rlimuni  13020  climuni  13022  o1eq  13040  rlimcld2  13048  rlimrege0  13049  climabs0  13055  mulcn2  13065  reccn2  13066  cn1lem  13067  cjcn2  13069  o1add  13083  o1mul  13084  o1sub  13085  rlimo1  13086  o1rlimmul  13088  climsqz  13110  climsqz2  13111  rlimsqzlem  13118  o1le  13122  climbdd  13141  caucvgrlem  13142  caucvgrlem2  13144  iseraltlem3  13153  iseralt  13154  fsumabs  13256  o1fsum  13268  iserabs  13270  cvgcmpce  13273  abscvgcvg  13274  divrcnv  13307  explecnv  13319  geomulcvg  13328  cvgrat  13335  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  efcllem  13355  efaddlem  13370  eftlub  13385  ef01bndlem  13460  sin01bnd  13461  cos01bnd  13462  absef  13473  alzdvds  13575  sqnprm  13776  pclem  13897  mul4sqlem  14006  xrsdsreclb  17840  gzrngunitlem  17857  gzrngunit  17858  prmirredlem  17897  prmirredlemOLD  17900  nm2dif  20196  blcvx  20355  recld2  20371  addcnlem  20420  cnheiborlem  20506  cnheibor  20507  cnllycmp  20508  cphsqrcl2  20685  ipcau2  20729  tchcphlem1  20730  ipcnlem2  20736  cncmet  20813  trirn  20879  rrxdstprj1  20888  pjthlem1  20904  volsup2  21065  mbfi1fseqlem6  21178  iblabslem  21285  iblabs  21286  iblabsr  21287  iblmulc2  21288  itgabs  21292  bddmulibl  21296  itgcn  21300  dveflem  21431  dvlip  21445  dvlipcn  21446  c1liplem1  21448  dveq0  21452  dv11cn  21453  lhop1lem  21465  dvfsumabs  21475  dvfsumrlim  21483  dvfsumrlim2  21484  ftc1a  21489  ftc1lem4  21491  plyeq0lem  21658  aalioulem2  21779  aalioulem3  21780  aalioulem4  21781  aalioulem5  21782  aalioulem6  21783  aaliou  21784  geolim3  21785  aaliou2b  21787  aaliou3lem9  21796  ulmbdd  21843  ulmcn  21844  ulmdvlem1  21845  mtest  21849  mtestbdd  21850  iblulm  21852  itgulm  21853  radcnvlem1  21858  radcnvlem2  21859  radcnvlt1  21863  radcnvle  21865  dvradcnv  21866  pserulm  21867  psercnlem2  21869  psercnlem1  21870  psercn  21871  pserdvlem1  21872  pserdvlem2  21873  pserdv  21874  abelthlem2  21877  abelthlem3  21878  abelthlem5  21880  abelthlem7  21883  abelthlem8  21884  sineq0  21963  tanregt0  21975  efif1olem3  21980  efif1olem4  21981  eff1olem  21984  cosargd  22037  cosarg0d  22038  argrege0  22040  abslogle  22047  logcnlem3  22069  logcnlem4  22070  efopnlem1  22081  logtayl  22085  abscxp2  22118  cxpcn3lem  22165  abscxpbnd  22171  cosangneg2d  22183  lawcoslem1  22191  lawcos  22192  pythag  22193  isosctrlem3  22198  ssscongptld  22200  chordthmlem3  22209  chordthmlem4  22210  chordthmlem5  22211  heron  22213  bndatandm  22304  efrlim  22343  rlimcxp  22347  o1cxp  22348  cxploglim2  22352  divsqrsumo1  22357  fsumharmonic  22385  ftalem1  22390  ftalem2  22391  ftalem3  22392  ftalem4  22393  ftalem5  22394  ftalem7  22396  logfacbnd3  22542  logfacrlim  22543  logexprlim  22544  dchrabs  22579  lgsdirprm  22648  lgsdilem2  22650  lgsne0  22652  lgsabs1  22653  mul2sq  22684  2sqlem3  22685  2sqblem  22696  vmadivsumb  22712  rplogsumlem2  22714  dchrisumlem2  22719  dchrisumlem3  22720  dchrisum  22721  dchrmusum2  22723  dchrvmasumlem2  22727  dchrvmasumlem3  22728  dchrvmasumiflem1  22730  dchrvmasumiflem2  22731  dchrisum0flblem1  22737  dchrisum0fno1  22740  dchrisum0lem1b  22744  dchrisum0lem1  22745  dchrisum0lem2a  22746  dchrisum0lem2  22747  dchrisum0lem3  22748  mudivsum  22759  mulogsumlem  22760  mulog2sumlem1  22763  mulog2sumlem2  22764  2vmadivsumlem  22769  log2sumbnd  22773  selberglem2  22775  selbergb  22778  selberg2b  22781  chpdifbndlem1  22782  selberg3lem1  22786  selberg3lem2  22787  selberg4lem1  22789  pntrsumo1  22794  pntrsumbnd  22795  pntrsumbnd2  22796  pntrlog2bndlem1  22806  pntrlog2bndlem2  22807  pntrlog2bndlem3  22808  pntrlog2bndlem4  22809  pntrlog2bndlem5  22810  pntrlog2bndlem6  22812  pntrlog2bnd  22813  pntpbnd1a  22814  pntpbnd2  22816  pntibndlem2  22820  pntlemn  22829  pntlemj  22832  pntlemf  22834  pntlemo  22836  pntlem3  22838  pntleml  22840  smcnlem  24060  nmoub3i  24141  isblo3i  24169  htthlem  24287  bcs2  24552  pjhthlem1  24762  nmfnsetre  25249  nmfnleub2  25298  nmfnge0  25299  nmbdfnlbi  25421  nmcfnexi  25423  nmcfnlbi  25424  lnfnconi  25427  cnlnadjlem2  25440  cnlnadjlem7  25445  nmopcoadji  25473  leopnmid  25510  sqsscirc2  26308  lgamgulmlem2  26985  lgamgulmlem3  26986  lgamgulmlem5  26988  lgambdd  26992  lgamucov  26993  lgamcvg2  27010  subfaclim  27045  subfacval3  27046  sinccvglem  27286  fprodabs  27453  iblabsnclem  28426  iblabsnc  28427  iblmulc2nc  28428  itgabsnc  28432  bddiblnc  28433  ftc1cnnclem  28436  ftc1anclem1  28438  ftc1anclem2  28439  ftc1anclem4  28441  ftc1anclem5  28442  ftc1anclem6  28443  ftc1anclem7  28444  ftc1anclem8  28445  ftc1anc  28446  ftc2nc  28447  dvasin  28451  areacirclem1  28455  areacirclem2  28456  areacirclem4  28458  areacirclem5  28459  areacirc  28460  geomcau  28626  cntotbnd  28666  rrndstprj1  28700  rrndstprj2  28701  ismrer1  28708  rencldnfilem  29130  irrapxlem2  29135  irrapxlem4  29137  irrapxlem5  29138  pellexlem2  29142  pellexlem6  29146  pell14qrgt0  29171  congabseq  29288  acongeq  29297  modabsdifz  29305  jm2.26lem3  29321  dvconstbi  29579  stoweid  29829
  Copyright terms: Public domain W3C validator