MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Structured version   Unicode version

Theorem abscld 13216
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 13061 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5579   CCcc 9479   RRcr 9480   abscabs 13017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13297  elo1mpt  13306  elo1mpt2  13307  elo1d  13308  o1bdd2  13313  o1bddrp  13314  rlimuni  13322  climuni  13324  o1eq  13342  rlimcld2  13350  rlimrege0  13351  climabs0  13357  mulcn2  13367  reccn2  13368  cn1lem  13369  cjcn2  13371  o1add  13385  o1mul  13386  o1sub  13387  rlimo1  13388  o1rlimmul  13390  climsqz  13412  climsqz2  13413  rlimsqzlem  13420  o1le  13424  climbdd  13443  caucvgrlem  13444  caucvgrlem2  13446  iseraltlem3  13455  iseralt  13456  fsumabs  13564  o1fsum  13576  iserabs  13578  cvgcmpce  13581  abscvgcvg  13582  divrcnv  13616  explecnv  13628  geomulcvg  13637  cvgrat  13644  mertenslem1  13645  mertenslem2  13646  efcllem  13664  efaddlem  13679  eftlub  13694  ef01bndlem  13769  sin01bnd  13770  cos01bnd  13771  absef  13782  alzdvds  13884  sqnprm  14087  pclem  14210  mul4sqlem  14319  xrsdsreclb  18226  gzrngunitlem  18243  gzrngunit  18244  prmirredlem  18283  prmirredlemOLD  18286  nm2dif  20872  blcvx  21031  recld2  21047  addcnlem  21096  cnheiborlem  21182  cnheibor  21183  cnllycmp  21184  cphsqrcl2  21361  ipcau2  21405  tchcphlem1  21406  ipcnlem2  21412  cncmet  21489  trirn  21555  rrxdstprj1  21564  pjthlem1  21580  volsup2  21742  mbfi1fseqlem6  21855  iblabslem  21962  iblabs  21963  iblabsr  21964  iblmulc2  21965  itgabs  21969  bddmulibl  21973  itgcn  21977  dveflem  22108  dvlip  22122  dvlipcn  22123  c1liplem1  22125  dveq0  22129  dv11cn  22130  lhop1lem  22142  dvfsumabs  22152  dvfsumrlim  22160  dvfsumrlim2  22161  ftc1a  22166  ftc1lem4  22168  plyeq0lem  22335  aalioulem2  22456  aalioulem3  22457  aalioulem4  22458  aalioulem5  22459  aalioulem6  22460  aaliou  22461  geolim3  22462  aaliou2b  22464  aaliou3lem9  22473  ulmbdd  22520  ulmcn  22521  ulmdvlem1  22522  mtest  22526  mtestbdd  22527  iblulm  22529  itgulm  22530  radcnvlem1  22535  radcnvlem2  22536  radcnvlt1  22540  radcnvle  22542  dvradcnv  22543  pserulm  22544  psercnlem2  22546  psercnlem1  22547  psercn  22548  pserdvlem1  22549  pserdvlem2  22550  pserdv  22551  abelthlem2  22554  abelthlem3  22555  abelthlem5  22557  abelthlem7  22560  abelthlem8  22561  sineq0  22640  tanregt0  22652  efif1olem3  22657  efif1olem4  22658  eff1olem  22661  cosargd  22714  cosarg0d  22715  argrege0  22717  abslogle  22724  logcnlem3  22746  logcnlem4  22747  efopnlem1  22758  logtayl  22762  abscxp2  22795  cxpcn3lem  22842  abscxpbnd  22848  cosangneg2d  22860  lawcoslem1  22868  lawcos  22869  pythag  22870  isosctrlem3  22875  ssscongptld  22877  chordthmlem3  22886  chordthmlem4  22887  chordthmlem5  22888  heron  22890  bndatandm  22981  efrlim  23020  rlimcxp  23024  o1cxp  23025  cxploglim2  23029  divsqrsumo1  23034  fsumharmonic  23062  ftalem1  23067  ftalem2  23068  ftalem3  23069  ftalem4  23070  ftalem5  23071  ftalem7  23073  logfacbnd3  23219  logfacrlim  23220  logexprlim  23221  dchrabs  23256  lgsdirprm  23325  lgsdilem2  23327  lgsne0  23329  lgsabs1  23330  mul2sq  23361  2sqlem3  23362  2sqblem  23373  vmadivsumb  23389  rplogsumlem2  23391  dchrisumlem2  23396  dchrisumlem3  23397  dchrisum  23398  dchrmusum2  23400  dchrvmasumlem2  23404  dchrvmasumlem3  23405  dchrvmasumiflem1  23407  dchrvmasumiflem2  23408  dchrisum0flblem1  23414  dchrisum0fno1  23417  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem1  23422  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  dchrisum0lem3  23425  mudivsum  23436  mulogsumlem  23437  mulog2sumlem1  23440  mulog2sumlem2  23441  2vmadivsumlem  23446  log2sumbnd  23450  selberglem2  23452  selbergb  23455  selberg2b  23458  chpdifbndlem1  23459  selberg3lem1  23463  selberg3lem2  23464  selberg4lem1  23466  pntrsumo1  23471  pntrsumbnd  23472  pntrsumbnd2  23473  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd1a  23491  pntpbnd2  23493  pntibndlem2  23497  pntlemn  23506  pntlemj  23509  pntlemf  23511  pntlemo  23513  pntlem3  23515  pntleml  23517  smcnlem  25133  nmoub3i  25214  isblo3i  25242  htthlem  25360  bcs2  25625  pjhthlem1  25835  nmfnsetre  26322  nmfnleub2  26371  nmfnge0  26372  nmbdfnlbi  26494  nmcfnexi  26496  nmcfnlbi  26497  lnfnconi  26500  cnlnadjlem2  26513  cnlnadjlem7  26518  nmopcoadji  26546  leopnmid  26583  sqsscirc2  27377  lgamgulmlem2  28062  lgamgulmlem3  28063  lgamgulmlem5  28065  lgambdd  28069  lgamucov  28070  lgamcvg2  28087  subfaclim  28122  subfacval3  28123  sinccvglem  28363  fprodabs  28530  iblabsnclem  29506  iblabsnc  29507  iblmulc2nc  29508  itgabsnc  29512  bddiblnc  29513  ftc1cnnclem  29516  ftc1anclem1  29518  ftc1anclem2  29519  ftc1anclem4  29521  ftc1anclem5  29522  ftc1anclem6  29523  ftc1anclem7  29524  ftc1anclem8  29525  ftc1anc  29526  ftc2nc  29527  dvasin  29531  areacirclem1  29535  areacirclem2  29536  areacirclem4  29538  areacirclem5  29539  areacirc  29540  geomcau  29706  cntotbnd  29746  rrndstprj1  29780  rrndstprj2  29781  ismrer1  29788  rencldnfilem  30209  irrapxlem2  30214  irrapxlem4  30216  irrapxlem5  30217  pellexlem2  30221  pellexlem6  30225  pell14qrgt0  30250  congabseq  30367  acongeq  30376  modabsdifz  30384  jm2.26lem3  30400  dvconstbi  30658  abssubrp  30853  dstregt0  30859  absnpncan2d  30898  absnpncan3d  30903  mullimc  30977  mullimcf  30984  limcrecl  30990  lptre2pt  31001  limcleqr  31005  addlimc  31009  0ellimcdiv  31010  limclner  31012  cncficcgt0  31046  dvdivbd  31072  dvbdfbdioolem1  31077  dvbdfbdioolem2  31078  dvbdfbdioo  31079  ioodvbdlimc1lem1  31080  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  stoweid  31182  fourierdlem30  31256  fourierdlem39  31265  fourierdlem42  31268  fourierdlem45  31271  fourierdlem47  31273  fourierdlem68  31294  fourierdlem70  31296  fourierdlem71  31297  fourierdlem73  31299  fourierdlem77  31303  fourierdlem80  31306  fourierdlem83  31309  fourierdlem87  31313  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330
  Copyright terms: Public domain W3C validator