MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Unicode version

Theorem abscld 12193
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 12038 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413   CCcc 8944   RRcr 8945   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12274  elo1mpt  12283  elo1mpt2  12284  elo1d  12285  o1bdd2  12290  o1bddrp  12291  rlimuni  12299  climuni  12301  o1eq  12319  rlimcld2  12327  rlimrege0  12328  climabs0  12334  mulcn2  12344  reccn2  12345  cn1lem  12346  cjcn2  12348  o1add  12362  o1mul  12363  o1sub  12364  rlimo1  12365  o1rlimmul  12367  climsqz  12389  climsqz2  12390  rlimsqzlem  12397  o1le  12401  climbdd  12420  caucvgrlem  12421  caucvgrlem2  12423  iseraltlem3  12432  iseralt  12433  fsumabs  12535  o1fsum  12547  iserabs  12549  cvgcmpce  12552  abscvgcvg  12553  divrcnv  12587  explecnv  12599  geomulcvg  12608  cvgrat  12615  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  efcllem  12635  efaddlem  12650  eftlub  12665  ef01bndlem  12740  sin01bnd  12741  cos01bnd  12742  absef  12753  alzdvds  12854  sqnprm  13053  pclem  13167  mul4sqlem  13276  xrsdsreclb  16700  gzrngunitlem  16718  gzrngunit  16719  prmirredlem  16728  nm2dif  18624  blcvx  18782  recld2  18798  addcnlem  18847  cnheiborlem  18932  cnheibor  18933  cnllycmp  18934  cphsqrcl2  19102  ipcau2  19144  tchcphlem1  19145  ipcnlem2  19151  cncmet  19228  pjthlem1  19291  volsup2  19450  mbfi1fseqlem6  19565  iblabslem  19672  iblabs  19673  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgabs  19679  bddmulibl  19683  itgcn  19687  dveflem  19816  dvlip  19830  dvlipcn  19831  c1liplem1  19833  dveq0  19837  dv11cn  19838  lhop1lem  19850  dvfsumabs  19860  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  ftc1a  19874  ftc1lem4  19876  plyeq0lem  20082  aalioulem2  20203  aalioulem3  20204  aalioulem4  20205  aalioulem5  20206  aalioulem6  20207  aaliou  20208  geolim3  20209  aaliou2b  20211  aaliou3lem9  20220  ulmbdd  20267  ulmcn  20268  ulmdvlem1  20269  mtest  20273  mtestbdd  20274  iblulm  20276  itgulm  20277  radcnvlem1  20282  radcnvlem2  20283  radcnvlt1  20287  radcnvle  20289  dvradcnv  20290  pserulm  20291  psercnlem2  20293  psercnlem1  20294  psercn  20295  pserdvlem1  20296  pserdvlem2  20297  pserdv  20298  abelthlem2  20301  abelthlem3  20302  abelthlem5  20304  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  sineq0  20382  tanregt0  20394  efif1olem3  20399  efif1olem4  20400  eff1olem  20403  cosargd  20456  cosarg0d  20457  argrege0  20459  abslogle  20466  logcnlem3  20488  logcnlem4  20489  efopnlem1  20500  logtayl  20504  abscxp2  20537  cxpcn3lem  20584  abscxpbnd  20590  cosangneg2d  20602  lawcoslem1  20610  lawcos  20611  pythag  20612  isosctrlem3  20617  ssscongptld  20619  chordthmlem3  20628  chordthmlem4  20629  chordthmlem5  20630  bndatandm  20722  efrlim  20761  rlimcxp  20765  o1cxp  20766  cxploglim2  20770  divsqrsumo1  20775  fsumharmonic  20803  ftalem1  20808  ftalem2  20809  ftalem3  20810  ftalem4  20811  ftalem5  20812  ftalem7  20814  logfacbnd3  20960  logfacrlim  20961  logexprlim  20962  dchrabs  20997  lgsdirprm  21066  lgsdilem2  21068  lgsne0  21070  lgsabs1  21071  mul2sq  21102  2sqlem3  21103  2sqblem  21114  vmadivsumb  21130  rplogsumlem2  21132  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrisum  21139  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  2vmadivsumlem  21187  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  selbergb  21196  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg4lem1  21207  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  pntrsumbnd2  21214  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntlemn  21247  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemo  21254  pntlem3  21256  pntleml  21258  smcnlem  22146  nmoub3i  22227  isblo3i  22255  htthlem  22373  bcs2  22637  pjhthlem1  22846  nmfnsetre  23333  nmfnleub2  23382  nmfnge0  23383  nmbdfnlbi  23505  nmcfnexi  23507  nmcfnlbi  23508  lnfnconi  23511  cnlnadjlem2  23524  cnlnadjlem7  23529  nmopcoadji  23557  leopnmid  23594  sqsscirc2  24260  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem5  24770  lgambdd  24774  lgamucov  24775  lgamcvg2  24792  subfaclim  24827  subfacval3  24828  sinccvglem  25062  fprodabs  25250  iblabsnclem  26167  iblabsnc  26168  iblmulc2nc  26169  itgabsnc  26173  bddiblnc  26174  ftc1cnnclem  26177  dvreasin  26179  dvreacos  26180  areacirclem2  26181  areacirclem3  26182  areacirclem4  26183  areacirclem5  26185  areacirclem6  26186  areacirc  26187  trirn  26347  geomcau  26355  cntotbnd  26395  rrndstprj1  26429  rrndstprj2  26430  ismrer1  26437  rencldnfilem  26771  irrapxlem2  26776  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  pell14qrgt0  26812  congabseq  26929  acongeq  26938  modabsdifz  26946  jm2.26lem3  26962  dvconstbi  27419  stoweid  27679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
  Copyright terms: Public domain W3C validator