MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem abscld 13498
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 13341 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1887   ` cfv 5582   CCcc 9537   RRcr 9538   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13589  elo1mpt  13598  elo1mpt2  13599  elo1d  13600  o1bdd2  13605  o1bddrp  13606  rlimuni  13614  climuni  13616  o1eq  13634  rlimcld2  13642  rlimrege0  13643  climabs0  13649  mulcn2  13659  reccn2  13660  cn1lem  13661  cjcn2  13663  o1add  13677  o1mul  13678  o1sub  13679  rlimo1  13680  o1rlimmul  13682  climsqz  13704  climsqz2  13705  rlimsqzlem  13712  o1le  13716  climbdd  13735  caucvgrlem  13736  caucvgrlemOLD  13737  caucvgrlem2  13740  iseraltlem3  13750  iseralt  13751  fsumabs  13861  o1fsum  13873  iserabs  13875  cvgcmpce  13878  abscvgcvg  13879  divrcnv  13910  explecnv  13923  geomulcvg  13932  cvgrat  13939  mertenslem1  13940  mertenslem2  13941  fprodabs  14028  efcllem  14132  efaddlem  14147  eftlub  14163  ef01bndlem  14238  sin01bnd  14239  cos01bnd  14240  absef  14251  alzdvds  14355  sqnprm  14646  pclem  14788  mul4sqlem  14897  xrsdsreclb  19015  gzrngunitlem  19032  gzrngunit  19033  prmirredlem  19064  nm2dif  21638  blcvx  21816  recld2  21832  addcnlem  21896  cnheiborlem  21982  cnheibor  21983  cnllycmp  21984  cphsqrtcl2  22164  ipcau2  22208  tchcphlem1  22209  ipcnlem2  22215  cncmet  22290  trirn  22354  rrxdstprj1  22363  pjthlem1  22391  volsup2  22563  mbfi1fseqlem6  22678  iblabslem  22785  iblabs  22786  iblabsr  22787  iblmulc2  22788  itgabs  22792  bddmulibl  22796  itgcn  22800  dveflem  22931  dvlip  22945  dvlipcn  22946  c1liplem1  22948  dveq0  22952  dv11cn  22953  lhop1lem  22965  dvfsumabs  22975  dvfsumrlim  22983  dvfsumrlim2  22984  ftc1a  22989  ftc1lem4  22991  plyeq0lem  23164  aalioulem2  23289  aalioulem3  23290  aalioulem4  23291  aalioulem5  23292  aalioulem6  23293  aaliou  23294  geolim3  23295  aaliou2b  23297  aaliou3lem9  23306  ulmbdd  23353  ulmcn  23354  ulmdvlem1  23355  mtest  23359  mtestbdd  23360  iblulm  23362  itgulm  23363  radcnvlem1  23368  radcnvlem2  23369  radcnvlt1  23373  radcnvle  23375  dvradcnv  23376  pserulm  23377  psercnlem2  23379  psercnlem1  23380  psercn  23381  pserdvlem1  23382  pserdvlem2  23383  pserdv  23384  abelthlem2  23387  abelthlem3  23388  abelthlem5  23390  abelthlem7  23393  abelthlem8  23394  sineq0  23476  tanregt0  23488  efif1olem3  23493  efif1olem4  23494  eff1olem  23497  cosargd  23557  cosarg0d  23558  argrege0  23560  abslogle  23567  logcnlem3  23589  logcnlem4  23590  efopnlem1  23601  logtayl  23605  abscxp2  23638  cxpcn3lem  23687  abscxpbnd  23693  cosangneg2d  23736  lawcoslem1  23744  lawcos  23745  pythag  23746  isosctrlem3  23749  ssscongptld  23751  chordthmlem3  23760  chordthmlem4  23761  chordthmlem5  23762  heron  23764  bndatandm  23855  efrlim  23895  rlimcxp  23899  o1cxp  23900  cxploglim2  23904  divsqrtsumo1  23909  fsumharmonic  23937  lgamgulmlem2  23955  lgamgulmlem3  23956  lgamgulmlem5  23958  lgambdd  23962  lgamucov  23963  lgamcvg2  23980  ftalem1  23997  ftalem2  23998  ftalem3  23999  ftalem4  24000  ftalem5  24001  ftalem4OLD  24002  ftalem5OLD  24003  ftalem7  24005  logfacbnd3  24151  logfacrlim  24152  logexprlim  24153  dchrabs  24188  lgsdirprm  24257  lgsdilem2  24259  lgsne0  24261  lgsabs1  24262  mul2sq  24293  2sqlem3  24294  2sqblem  24305  vmadivsumb  24321  rplogsumlem2  24323  dchrisumlem2  24328  dchrisumlem3  24329  dchrisum  24330  dchrmusum2  24332  dchrvmasumlem2  24336  dchrvmasumlem3  24337  dchrvmasumiflem1  24339  dchrvmasumiflem2  24340  dchrisum0flblem1  24346  dchrisum0fno1  24349  dchrisum0lem1b  24353  dchrisum0lem1  24354  dchrisum0lem2a  24355  dchrisum0lem2  24356  dchrisum0lem3  24357  mudivsum  24368  mulogsumlem  24369  mulog2sumlem1  24372  mulog2sumlem2  24373  2vmadivsumlem  24378  log2sumbnd  24382  selberglem2  24384  selbergb  24387  selberg2b  24390  chpdifbndlem1  24391  selberg3lem1  24395  selberg3lem2  24396  selberg4lem1  24398  pntrsumo1  24403  pntrsumbnd  24404  pntrsumbnd2  24405  pntrlog2bndlem1  24415  pntrlog2bndlem2  24416  pntrlog2bndlem3  24417  pntrlog2bndlem4  24418  pntrlog2bndlem5  24419  pntrlog2bndlem6  24421  pntrlog2bnd  24422  pntpbnd1a  24423  pntpbnd2  24425  pntibndlem2  24429  pntlemn  24438  pntlemj  24441  pntlemf  24443  pntlemo  24445  pntlem3  24447  pntleml  24449  smcnlem  26333  nmoub3i  26414  isblo3i  26442  htthlem  26570  bcs2  26835  pjhthlem1  27044  nmfnsetre  27530  nmfnleub2  27579  nmfnge0  27580  nmbdfnlbi  27702  nmcfnexi  27704  nmcfnlbi  27705  lnfnconi  27708  cnlnadjlem2  27721  cnlnadjlem7  27726  nmopcoadji  27754  leopnmid  27791  bhmafibid1  28405  sqsscirc2  28715  subfaclim  29911  subfacval3  29912  sinccvglem  30316  poimirlem29  31969  poimir  31973  iblabsnclem  32005  iblabsnc  32006  iblmulc2nc  32007  itgabsnc  32011  bddiblnc  32012  ftc1cnnclem  32015  ftc1anclem1  32017  ftc1anclem2  32018  ftc1anclem4  32020  ftc1anclem5  32021  ftc1anclem6  32022  ftc1anclem7  32023  ftc1anclem8  32024  ftc1anc  32025  ftc2nc  32026  dvasin  32028  areacirclem1  32032  areacirclem2  32033  areacirclem4  32035  areacirclem5  32036  areacirc  32037  geomcau  32088  cntotbnd  32128  rrndstprj1  32162  rrndstprj2  32163  ismrer1  32170  rencldnfilem  35663  irrapxlem2  35667  irrapxlem4  35669  irrapxlem5  35670  pellexlem2  35674  pellexlem6  35678  pell14qrgt0  35705  congabseq  35824  acongeq  35833  modabsdifz  35839  jm2.26lem3  35856  extoimad  36607  imo72b2lem0  36608  imo72b2  36619  dvgrat  36661  cvgdvgrat  36662  radcnvrat  36663  dvconstbi  36683  binomcxplemnotnn0  36705  dstregt0  37491  absnpncan2d  37520  absnpncan3d  37525  abslt2sqd  37583  fprodabs2  37675  mullimc  37696  mullimcf  37703  limcrecl  37709  lptre2pt  37720  limcleqr  37725  addlimc  37729  0ellimcdiv  37730  limclner  37732  cncficcgt0  37766  dvdivbd  37795  dvbdfbdioolem1  37800  dvbdfbdioolem2  37801  dvbdfbdioo  37802  ioodvbdlimc1lem1  37803  ioodvbdlimc1lem2  37804  ioodvbdlimc1lem1OLD  37805  ioodvbdlimc1lem2OLD  37806  ioodvbdlimc2lem  37808  ioodvbdlimc2lemOLD  37809  stoweid  37925  fourierdlem30  37999  fourierdlem39  38009  fourierdlem42  38012  fourierdlem42OLD  38013  fourierdlem47  38017  fourierdlem68  38038  fourierdlem70  38040  fourierdlem71  38041  fourierdlem73  38043  fourierdlem77  38047  fourierdlem80  38050  fourierdlem83  38053  fourierdlem87  38057  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  etransclem23  38122  etransclem48OLD  38147  etransclem48  38148  rrndistlt  38159  sge0isum  38269  hoicvr  38370
  Copyright terms: Public domain W3C validator