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Theorem climsqz2 14220
 Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsqz.5 (𝜑𝐺𝑊)
climsqz.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climsqz2.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
climsqz2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climsqz2 (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsqz2
Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2611 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
6 climadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
81, 3, 4, 5, 7climi2 14090 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
91uztrn2 11581 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
10 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
11 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 2, 6, 11climrecl 14162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 climsqz2.8 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
1510, 11, 13, 14lesub1dd 10522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
16 climsqz2.9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐺𝑘))
1713, 10, 16abssubge0d 14018 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
1813, 10, 11, 16, 14letrd 10073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
1913, 11, 18abssubge0d 14018 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2015, 17, 193brtr4d 4615 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2120adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2210adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2312ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 14023 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2711adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2827, 23resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
3029abscld 14023 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
31 rpre 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 lelttr 10007 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3426, 30, 32, 33syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3521, 34mpand 707 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
369, 35sylan2 490 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3736anassrs 678 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3837ralimdva 2945 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3938reximdva 3000 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
408, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
4140ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
42 climsqz.5 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
43 eqidd 2611 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
4412recnd 9947 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4510recnd 9947 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 14084 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4741, 46mpbird 246 1 (𝜑𝐺𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by:  expcnv  14435  explecnv  14436  plyeq0lem  23770  leibpi  24469  emcllem4  24525  lgamcvg2  24581  basellem6  24612  basellem9  24615  wallispilem5  38962  stirlinglem1  38967
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