Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsqz2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem climsqz2 13782
 Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsqz.5
climsqz.6
climsqz.7
climsqz2.8
climsqz2.9
Assertion
Ref Expression
climsqz2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem climsqz2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5
2 climadd.2 . . . . . 6
32adantr 472 . . . . 5
4 simpr 468 . . . . 5
5 eqidd 2472 . . . . 5
6 climadd.4 . . . . . 6
76adantr 472 . . . . 5
81, 3, 4, 5, 7climi2 13652 . . . 4
91uztrn2 11200 . . . . . . . 8
10 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12
11 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12
121, 2, 6, 11climrecl 13724 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
14 climsqz2.8 . . . . . . . . . . . 12
1510, 11, 13, 14lesub1dd 10250 . . . . . . . . . . 11
16 climsqz2.9 . . . . . . . . . . . 12
1713, 10, 16abssubge0d 13570 . . . . . . . . . . 11
1813, 10, 11, 16, 14letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12
1913, 11, 18abssubge0d 13570 . . . . . . . . . . 11
2015, 17, 193brtr4d 4426 . . . . . . . . . 10
2120adantlr 729 . . . . . . . . 9
2210adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
2312ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12
2524recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
2625abscld 13575 . . . . . . . . . 10
2711adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
2827, 23resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12
2928recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
3029abscld 13575 . . . . . . . . . 10
31 rpre 11331 . . . . . . . . . . 11
3231ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
33 lelttr 9742 . . . . . . . . . 10
3426, 30, 32, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
3521, 34mpand 689 . . . . . . . 8
369, 35sylan2 482 . . . . . . 7
3736anassrs 660 . . . . . 6
3837ralimdva 2805 . . . . 5
3938reximdva 2858 . . . 4
408, 39mpd 15 . . 3
4140ralrimiva 2809 . 2
42 climsqz.5 . . 3
43 eqidd 2472 . . 3
4412recnd 9687 . . 3
4510recnd 9687 . . 3
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 13646 . 2
4741, 46mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cabs 13374   cli 13625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630 This theorem is referenced by:  expcnv  13999  explecnv  14000  plyeq0lem  23243  leibpi  23947  emcllem4  24003  lgamcvg2  24059  basellem6  24091  basellem9  24094  wallispilem5  38043  stirlinglem1  38048
 Copyright terms: Public domain W3C validator