Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ulmbdd.z |
. . 3
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) |
2 | | ulmbdd.m |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
3 | | ulmbdd.f |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
4 | | eqidd 2611 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
5 | | eqidd 2611 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) |
6 | | ulmbdd.u |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) |
7 | | 1rp 11712 |
. . . 4
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ+) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 | ulmi 23944 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) |
10 | 1 | r19.2uz 13939 |
. . 3
⊢
(∃𝑗 ∈
𝑍 ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) |
11 | | ulmbdd.b |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥) |
12 | | r19.26 3046 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧 ∈
𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1)) |
13 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈
ℝ) |
14 | 13 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ) |
15 | | ulmcl 23939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ) |
16 | 6, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ) |
17 | 16 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ) |
18 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑧 ∈ 𝑆) |
19 | 17, 18 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) |
20 | 19 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ) |
21 | 3 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
22 | | simpllr 795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
23 | 21, 22 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
24 | | elmapi 7765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ) |
26 | 25, 18 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
27 | 26 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ) |
28 | 19, 26 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ) |
29 | 28 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ) |
30 | 27, 29 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ) |
31 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ) |
32 | 26, 19 | pncan3d 10274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (𝐺‘𝑧)) |
33 | 32 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺‘𝑧))) |
34 | 26, 28 | abstrid 14043 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + ((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))))) |
35 | 33, 34 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))))) |
36 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
37 | | 1re 9918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℝ |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → 1 ∈
ℝ) |
39 | | simprrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥) |
40 | 19, 26 | abssubd 14040 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)))) |
41 | | simprrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) |
42 | 40, 41 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1) |
43 | | ltle 10005 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
→ ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)) |
44 | 29, 37, 43 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)) |
45 | 42, 44 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) ≤ 1) |
46 | 27, 29, 36, 38, 39, 45 | le2addd 10525 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺‘𝑧) − ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1)) |
47 | 20, 30, 31, 35, 46 | letrd 10073 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) |
48 | 47 | expr 641 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))) |
49 | 48 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))) |
50 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))) |
51 | 50 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = (𝑥 + 1) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))) |
52 | 51 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧
∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) |
53 | 14, 49, 52 | syl6an 566 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 ((abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)) |
54 | 12, 53 | syl5bir 232 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)) |
55 | 54 | expd 451 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))) |
56 | 55 | rexlimdva 3013 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))) |
57 | 11, 56 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)) |
58 | | breq2 4587 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)) |
59 | 58 | ralbidv 2969 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)) |
60 | 59 | cbvrexv 3148 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑦 ∈
ℝ ∀𝑧 ∈
𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥) |
61 | 57, 60 | syl6ib 240 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)) |
62 | 61 | rexlimdva 3013 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)) |
63 | 10, 62 | syl5 33 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥)) |
64 | 9, 63 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑥) |