Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnconi 28298
 Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi (𝑇 ∈ ConFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfnconi
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nmcfnex 28296 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ConFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
31, 2mpan 702 . 2 (𝑇 ∈ ConFn → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
4 nmcfnlb 28297 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ConFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
51, 4mp3an1 1403 . 2 ((𝑇 ∈ ConFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
61lnfnfi 28284 . . 3 𝑇: ℋ⟶ℂ
7 elcnfn 28125 . . 3 (𝑇 ∈ ConFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧)))
86, 7mpbiran 955 . 2 (𝑇 ∈ ConFn ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧))
96ffvelrni 6266 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℂ)
109abscld 14023 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
111lnfnsubi 28289 . 2 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 𝑥)) = ((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥)))
123, 5, 8, 10, 11lnconi 28276 1 (𝑇 ∈ ConFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ℋchil 27160  normℎcno 27164   −ℎ cmv 27166  normfncnmf 27192  ConFnccnfn 27194  LinFnclf 27195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-nmfn 28088  df-cnfn 28090  df-lnfn 28091 This theorem is referenced by:  lnfncon  28299
 Copyright terms: Public domain W3C validator