Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncmet 22927
 Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cncmet 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopn 22395 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3 cncmet.1 . . . . 5 𝐷 = (abs ∘ − )
43fveq2i 6106 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
52, 4eqtr4i 2635 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6 cnmet 22385 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
73, 6eqeltri 2684 . . . 4 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9 1rp 11712 . . . 4 1 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
111cnfldtop 22397 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12 metxmet 21949 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14 rpxr 11716 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
159, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
16 blssm 22033 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
1713, 15, 16mp3an13 1407 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
181cnfldtopon 22396 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1918toponunii 20547 . . . . . . 7 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2019clscld 20661 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
2111, 17, 20sylancr 694 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
22 abscl 13866 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
23 peano2re 10088 . . . . . . 7 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
25 df-rab 2905 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
2625eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
275, 26blcls 22121 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
2813, 15, 27mp3an13 1407 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
29 abscl 13866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
3029ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
3122adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3230, 31resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
33 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
35 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3633, 34, 35syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3736abscld 14023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ)
38 1red 9934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
39 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4139, 40abs2difd 14044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦𝑥)))
423cnmetdval 22384 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
43 abssub 13914 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4442, 43eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4544adantrr 749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
46 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
4745, 46eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦𝑥)) ≤ 1)
4832, 37, 38, 41, 47letrd 10073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
4930, 31, 38lesubadd2d 10505 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5048, 49mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
5150ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5251ss2abdv 3638 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
5328, 52sstrd 3578 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
54 ssabral 3636 . . . . . . 7 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
5553, 54sylib 207 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
56 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑟 = ((abs‘𝑥) + 1) → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5756ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑟 = ((abs‘𝑥) + 1) → (∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5857rspcev 3282 . . . . . 6 ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
5924, 55, 58syl2anc 691 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
6019clsss3 20673 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
6111, 17, 60sylancr 694 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
62 eqid 2610 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
631, 62cnheibor 22562 . . . . . 6 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
6461, 63syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
6521, 59, 64mpbir2and 959 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
6665adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
675, 8, 10, 66relcmpcmet 22923 . 2 (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
6867trud 1484 1 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  Clsdccld 20630  clsccl 20632  Compccmp 20999  CMetcms 22860 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-flim 21553  df-fcls 21555  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-cfil 22861  df-cmet 22863 This theorem is referenced by:  recmet  22928  cncms  22959  cnbn  27109
 Copyright terms: Public domain W3C validator