HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnleub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnleub2 28169
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 27366 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
21ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
3 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
5 1re 9918 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 lemul2a 10757 . . . . . . . . . . 11 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
75, 6mp3anl2 1411 . . . . . . . . . 10 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9 ax-1rid 9885 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
109ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1110ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
128, 11breqtrd 4609 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴)
13 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
1413abscld 14023 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1514adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
16 remulcl 9900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
171, 16sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1817adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
20 simplrl 796 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 letr 10010 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2412, 23mpan2d 706 . . . . . . 7 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2524ex 449 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ≤ 1 → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2625com23 84 . . . . 5 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2726ralimdva 2945 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2827imp 444 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
29 rexr 9964 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31 nmfnleub 28168 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normfn𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3230, 31sylan2 490 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normfn𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3332biimpar 501 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
3428, 33syldan 486 . 2 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
35343impa 1251 1 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  *cxr 9952  cle 9954  abscabs 13822  chil 27160  normcno 27164  normfncnmf 27192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hv0cl 27244  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325  ax-his4 27326
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-nmfn 28088
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator