Theorem dnibndlem12 31649

Description: Lemma for dnibnd 31651. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem12.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem12.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem12.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem12.4	⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem12	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibndlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem12.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 31632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem12.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 31632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℂ)
7	6	abscld 14023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ∈ ℝ)
8		1red 9934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 3	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 14023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	8	rehalfcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
13	3, 1	dnibndlem11 31648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
14		halflt1 11127	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
15		halfre 11123	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
18		ltle 10005	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
22	7, 12, 8, 13, 21	letrd 10073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ 1)
23		dnibndlem12.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 2) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
24	3, 1, 23	dnibndlem10 31647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 − 𝐴))
25	9	leabsd 14001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
26	8, 9, 11, 24, 25	letrd 10073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
27	7, 8, 11, 22, 26	letrd 10073	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
28		dnibndlem12.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
29	28, 3, 1	dnibndlem1 31638	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ↔ (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
30	27, 29	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝐵) − (𝑇‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ⌊cfl 12453  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  31650