Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnexi 28294
 Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ConFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfn𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ConFn
2 ax-hv0cl 27244 . . . 4 0 ∈ ℋ
3 1rp 11712 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 28173 . . . 4 ((𝑇 ∈ ConFn ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1416 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1)
6 hvsub0 27317 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 0) = 𝑧)
76fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑧 0)) = (norm𝑧))
87breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 ↔ (norm𝑧) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 28285 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘0) = 0
1110oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = ((𝑇𝑧) − 0)
129lnfnfi 28284 . . . . . . . . . . 11 𝑇: ℋ⟶ℂ
1312ffvelrni 6266 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
1413subid1d 10260 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1511, 14syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = (𝑇𝑧))
1615fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) = (abs‘(𝑇𝑧)))
1716breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
188, 17imbi12d 333 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)))
1918ralbiia 2962 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
2019rexbii 3023 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
215, 20mpbi 219 . 2 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)
22 nmfnval 28119 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < )
2412ffvelrni 6266 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
2524abscld 14023 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6106 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘0)
27 abs0 13873 . . 3 (abs‘0) = 0
2826, 27eqtri 2632 . 2 (abs‘(𝑇‘0)) = 0
29 rpcn 11717 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
309lnfnmuli 28287 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3129, 30sylan 487 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3231fveq2d 6107 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))))
33 absmul 13882 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
3429, 24, 33syl2an 493 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
35 rpre 11715 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 11721 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 14009 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 480 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 6564 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))))
4032, 34, 393eqtrrd 2649 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 28269 1 (normfn𝑇) ∈ ℝ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ℋchil 27160   ·ℎ csm 27162  normℎcno 27164  0ℎc0v 27165   −ℎ cmv 27166  normfncnmf 27192  ConFnccnfn 27194  LinFnclf 27195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-nmfn 28088  df-cnfn 28090  df-lnfn 28091 This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  28295  nmcfnex  28296
 Copyright terms: Public domain W3C validator