Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfn0i 28285
 Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfn0i (𝑇‘0) = 0

Proof of Theorem lnfn0i
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27244 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 28284 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ℂ
43ffvelrni 6266 . . . 4 (0 ∈ ℋ → (𝑇‘0) ∈ ℂ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇‘0) ∈ ℂ
65, 5pncan3oi 10176 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
7 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
82lnfnli 28283 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)))
97, 1, 1, 8mp3an 1416 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0))
107, 1hvmulcli 27255 . . . . . . . . 9 (1 · 0) ∈ ℋ
11 ax-hvaddid 27245 . . . . . . . . 9 ((1 · 0) ∈ ℋ → ((1 · 0) + 0) = (1 · 0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((1 · 0) + 0) = (1 · 0)
13 ax-hvmulid 27247 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℋ → (1 · 0) = 0)
141, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 · 0) = 0
1512, 14eqtri 2632 . . . . . . 7 ((1 · 0) + 0) = 0
1615fveq2i 6106 . . . . . 6 (𝑇‘((1 · 0) + 0)) = (𝑇‘0)
179, 16eqtr3i 2634 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
185mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · (𝑇‘0)) = (𝑇‘0)
1918oveq1i 6559 . . . . 5 ((1 · (𝑇‘0)) + (𝑇‘0)) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2017, 19eqtr3i 2634 . . . 4 (𝑇‘0) = ((𝑇‘0) + (𝑇‘0))
2120oveq1i 6559 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0))
225subidi 10231 . . 3 ((𝑇‘0) − (𝑇‘0)) = 0
2321, 22eqtr3i 2634 . 2 (((𝑇‘0) + (𝑇‘0)) − (𝑇‘0)) = 0
246, 23eqtr3i 2634 1 (𝑇‘0) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162  0ℎc0v 27165  LinFnclf 27195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-lnfn 28091 This theorem is referenced by:  lnfnmuli  28287  lnfn0  28290  nmbdfnlbi  28292  nmcfnexi  28294  nmcfnlbi  28295  nlelshi  28303
 Copyright terms: Public domain W3C validator