Theorem eucrctshift 41411

Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrctshift.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
eucrctshift.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
eucrctshift	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift

Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrctshift.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrctshift.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrctshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
4		eucrctshift.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
5		eucrctshift.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		eucrctshift.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		eucrctshift.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 41026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
9		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄) → 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
10		eucrctshift.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
11	2	eupthf1o 41372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14		trlis1wlk 40905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 → 𝐻(1Walks‘𝐺)𝑄)
15	2	1wlkf 40819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑄 → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16		wrdf 13165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼)
18		df-f1o 5811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
19		dffo3 6282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦)))
20		crctis1wlk 41002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
21	2	1wlkf 40819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
23	4	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(#‘𝐹))
24	23	eleq2i 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
25		elfzonn0 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27		elfzonn0 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28		nn0sub 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
29	26, 27, 28	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
30	29	biimpac 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0)
31		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)))
32		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
33	31, 32	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
34	33	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
35		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
37		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
41	40	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
42		readdcl 9898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((#‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
43	38, 41, 42	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
44	36, 39, 43	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((#‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
45		elfzole1 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
47		addge01 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (#‘𝐹) ≤ ((#‘𝐹) + 𝑆)))
48	38, 41, 47	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (#‘𝐹) ≤ ((#‘𝐹) + 𝑆)))
49	46, 48	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ≤ ((#‘𝐹) + 𝑆))
50	44, 49	lelttrdi 10078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 < (#‘𝐹) → 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆)))
51	50	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑦 < (#‘𝐹) → 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆))))
52	51	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (#‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆))))
53	52	3impia 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆)))
54	53	adantld 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆)))
55	54	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆))
56	35	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	41	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
59		elfzoel2 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
60	59	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
61	60	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
62	57, 58, 61	ltsubaddd 10502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((#‘𝐹) + 𝑆)))
63	55, 62	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹))
64	63	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹)))
65	31, 64	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹)))
66	65	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹))
68		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 𝑆) < (#‘𝐹)))
69	30, 34, 67, 68	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
70		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆))
71	70	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
72	40	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
74		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
75	74	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
76	73, 75	anim12ci 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
78		npcan 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
80	79	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = (𝑦 mod (#‘𝐹)))
81		zmodidfzoimp 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑦 mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
82	81	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
83	80, 82	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
84	71, 83	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
85	84	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
86	69, 85	rspcedeq2vd 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
87		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)))
88		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
89	88	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
90		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℂ)
91	90	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
93		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
94	93	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
96	89, 92, 95	subadd23d 10293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) = (𝑦 + ((#‘𝐹) − 𝑆)))
97		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
98		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℤ)
99		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
100		znnsub 11300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (#‘𝐹) ↔ ((#‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
101	98, 99, 100	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (#‘𝐹) ↔ ((#‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
102	101	biimp3a 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
104	103	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ0)
105	97, 104	nn0addcld 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → (𝑦 + ((#‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ0)
106	96, 105	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0)
108		simplr2 1097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
109	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		subcl 10159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
111	109, 91, 110	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
112	95, 111	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((#‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
114		addcom 10101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ) → ((#‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((#‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)))
116	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
119		ltnle 9996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦))
120		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
121		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
122	120, 121	sublt0d 10532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123	122	biimprd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
124	119, 123	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
125	116, 118, 124	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
126	125	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (𝑦 − 𝑆) < 0)
127		resubcl 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
128	116, 118, 127	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
129	37	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
130	129	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
131	128, 130	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℝ))
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℝ))
133		ltaddneg 10130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((#‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (#‘𝐹)))
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((#‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (#‘𝐹)))
135	126, 134	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((#‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (#‘𝐹))
136	115, 135	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹))
137	107, 108, 136	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))
138	137	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))))
139	138	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (#‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))))
140	87, 139	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))))
141	140	adantld 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))))
142	31, 141	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))))
143	142	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹))))
144	143	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))
145		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) < (#‘𝐹)))
146	144, 145	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
147		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆))
148	147	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = ((((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
149	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
150	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
151		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
152	151	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
153	149, 150, 152	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ))
154	153	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ))
155		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
157		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
158	155, 157, 156	nppcand 10296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (#‘𝐹)))
159	155, 156, 158	comraddd 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆) = ((#‘𝐹) + 𝑦))
160	154, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆) = ((#‘𝐹) + 𝑦))
161	160	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = (((#‘𝐹) + 𝑦) mod (#‘𝐹)))
162	31	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)))
163	162	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)))
164		addmodid 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) + 𝑦) mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((#‘𝐹) + 𝑦) mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
166	161, 165	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹)) + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
167	148, 166	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) = 𝑦)
168	167	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (#‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
169	146, 168	rspcedeq2vd 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
170	86, 169	pm2.61ian 827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
171	23	rexeqi 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
172	170, 171	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
173	172	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))))
174	24, 173	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))))
175	22, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))))
176	20, 21, 175	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))))
177	3, 5, 176	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
179	178	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))
181		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
182	181	reximi 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
183	180, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
184	3, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185	184	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
187	5, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
188	187	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
189	23	eleq2i 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
190	189	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
191		cshwidxmod 13400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
192	185, 188, 190, 191	syl2an3an 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹))))
193	192	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))))
194	193	rexbidva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (#‘𝐹)))))
195	183, 194	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
196	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 41021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
197	196	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^𝑁))
198	197	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^𝑁))
199		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑖 = (𝐹‘𝑦))
200	6	fveq1i 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
202	199, 201	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
203	198, 202	rexeqbidv 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
204	195, 203	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
205	204	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
206	205	rexlimdva 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
207	206	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
208	207	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
209	208	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧) ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼))
210	209	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
211		dffo3 6282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
212	210, 211	sylibr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
213	212	exp31 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214	19, 213	simplbiim 657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
215	18, 214	simplbiim 657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
216	215	com13 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
217	17, 216	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
218	217	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
219	13, 218	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
220	9, 219	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄) → (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
221	8, 220	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
222	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem3 41022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
223	2	iseupth 41368	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
224	222, 223	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
225	221, 224	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
226	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcsh 41027	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
227	225, 226	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  CircuitSccrcts 40990  EulerPathsceupth 41364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-crcts 40992  df-eupth 41365

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  41413