MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttrdi 10078
Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lelttrdi.r (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
lelttrdi (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi
StepHypRef Expression
1 lelttrdi.r . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
21simp1d 1066 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41simp2d 1067 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
61simp3d 1068 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9 lelttrdi.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
109adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐶)
113, 5, 7, 8, 10ltletrd 10076 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
1211ex 449 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  cr 9814   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959
This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11223  subfzo0  12452  eucrctshift  41411
  Copyright terms: Public domain W3C validator