Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eucrct2eupth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eucrct2eupth1 41412
 Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 41413 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g (𝜑 → 0 < (#‘𝐹))
eucrct2eupth1.n (𝜑𝑁 = ((#‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
eucrct2eupth1.q 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eucrct2eupth1.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eucrct2eupth1.d . 2 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4 eucrct2eupth1.n . . 3 (𝜑𝑁 = ((#‘𝐹) − 1))
5 eucrct2eupth1.g . . . . 5 (𝜑 → 0 < (#‘𝐹))
6 eupthis1wlk 41380 . . . . . 6 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
7 1wlkcl 40820 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
8 nn0z 11277 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
98anim1i 590 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝐹)))
10 elnnz 11264 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝐹)))
119, 10sylibr 223 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
1211ex 449 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (0 < (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
143, 6, 133syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0 < (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
155, 14mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
16 fzo0end 12426 . . . 4 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
184, 17eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
19 eucrct2eupth1.e . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
20 eucrct2eupth1.h . 2 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
21 eucrct2eupth1.q . 2 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
22 eucrct2eupth1.s . 2 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
231, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22eupthres 41383 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  CircuitSccrcts 40990  EulerPathsceupth 41364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-eupth 41365 This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  41413
 Copyright terms: Public domain W3C validator