Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  crctcshtrl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshtrl 41026
 Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a trail ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (#‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshtrl (𝜑𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . 3 (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . 3 𝑁 = (#‘𝐹)
5 crctcsh.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcsh1wlk 41025 . 2 (𝜑𝐻(1Walks‘𝐺)𝑄)
9 crctisTrl 41001 . . . . 5 (𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
102trlf1 40906 . . . . . 6 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11 df-f1 5809 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
12 iswrdi 13164 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
1312anim1i 590 . . . . . . 7 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1411, 13sylbi 206 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1510, 14syl 17 . . . . 5 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
163, 9, 153syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
17 elfzoelz 12339 . . . . 5 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
185, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
19 df-3an 1033 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
2016, 18, 19sylanbrc 695 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ))
21 cshinj 13408 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun 𝐻))
2220, 6, 21mpisyl 21 . 2 (𝜑 → Fun 𝐻)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem3 41022 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
24 isTrl 40904 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun 𝐻)))
2523, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun 𝐻)))
268, 22, 25mpbir2and 959 1 (𝜑𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  CircuitSccrcts 40990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-crcts 40992 This theorem is referenced by:  crctcsh  41027  eucrctshift  41411
 Copyright terms: Public domain W3C validator