Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsuble0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsuble0b 10774
 Description: A condition for multiplication of subtraction to be nonpositive. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulsuble0b ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mulsuble0b
StepHypRef Expression
1 resubcl 10224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
213adant3 1074 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3 resubcl 10224 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
43ancoms 468 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
543adant1 1072 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
6 mulle0b 10773 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
72, 5, 6syl2anc 691 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0))))
8 suble0 10421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
983adant3 1074 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
10 subge0 10420 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
1110ancoms 468 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
12113adant1 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
139, 12anbi12d 743 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶)))
14 subge0 10420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
15143adant3 1074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
16 suble0 10421 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1716ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
18173adant1 1072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) ≤ 0 ↔ 𝐶𝐵))
1915, 18anbi12d 743 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐵)))
20 ancom 465 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴))
2119, 20syl6bb 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0) ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐴)))
2213, 21orbi12d 742 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐶𝐵)) ∨ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ 0)) ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
237, 22bitrd 267 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) · (𝐶𝐵)) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∨ (𝐶𝐵𝐵𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564 This theorem is referenced by:  brbtwn2  25585
 Copyright terms: Public domain W3C validator