Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem2 25609
 Description: Lemma for ax5seg 25618. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1107 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 fveecn 25582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
31, 2sylancom 698 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
4 simpl2r 1108 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 fveecn 25582 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
64, 5sylancom 698 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7 0re 9919 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
8 1re 9918 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
97, 8elicc2i 12110 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
109simp1bi 1069 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
1110recnd 9947 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
13123ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
1413adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
15 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
16 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
1716oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)))
18 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
1918oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑗)))
2017, 19oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2115, 20eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2221rspccva 3281 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2322adantll 746 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
24233ad2antl3 1218 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
25 oveq1 6556 . . . . . 6 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗)) = ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗)))
2625oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗))↑2))
27 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
28 subcl 10159 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
2927, 28mpan 702 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
30293ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
31 simp1 1054 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3230, 31mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
33 simp3 1056 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
34 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
3533, 34mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
3632, 35, 34addsubassd 10291 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗)) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶𝑗)) − (𝐶𝑗))))
37 subdi 10342 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))))
3829, 37syl3an1 1351 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))))
39383coml 1264 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))))
40 subdir 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4127, 40mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4241ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
43423adant1 1072 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
44 mulid2 9917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐶𝑗)) = (𝐶𝑗))
4544oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
46453ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4743, 46eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗)) = ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
4847oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
4932, 34, 35subsub2d 10300 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑗) − (𝑇 · (𝐶𝑗)))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶𝑗)) − (𝐶𝑗))))
5039, 48, 493eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + ((𝑇 · (𝐶𝑗)) − (𝐶𝑗))))
5136, 50eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))))
5251oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2))
53 subcl 10159 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
54533adant3 1074 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5530, 54sqmuld 12882 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5652, 55eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5726, 56sylan9eqr 2666 . . . 4 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
583, 6, 14, 24, 57syl31anc 1321 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
5958sumeq2dv 14281 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
60 fzfid 12634 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61 resubcl 10224 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
628, 10, 61sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
6362resqcld 12897 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℝ)
6463recnd 9947 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
6564adantr 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
66653ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((1 − 𝑇)↑2) ∈ ℂ)
6723adant1 1072 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
68673adant2r 1313 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6953adant1 1072 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
70693adant2l 1312 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7168, 70subcld 10271 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7271sqcld 12868 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
73723expa 1257 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
74733adantl3 1212 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
7560, 66, 74fsummulc2 14358 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑇)↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
7659, 75eqtr4d 2647 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  𝔼cee 25568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ee 25571 This theorem is referenced by:  ax5seglem3  25611
 Copyright terms: Public domain W3C validator