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Theorem ax5seglem2 24005
Description: Lemma for ax5seg 24014. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:   A, i, j   B, i, j   C, i, j   i, N, j   T, i, j
Proof of Theorem ax5seglem2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1049 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2 fveecn 23978 . . . . 5 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
31, 2sylancom 667 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
4 simpl2r 1050 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5 fveecn 23978 . . . . 5 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
64, 5sylancom 667 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
7 0re 9597 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
8 1re 9596 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
97, 8elicc2i 11591 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( T e. RR /\ 0 <_ T /\ T <_ 1 ) )
109simp1bi 1011 . . . . . . . 8 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. RR )
1110recnd 9623 . . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. CC )
1211adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) -> T e. CC )
13123ad2ant3 1019 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> T e. CC )
1413adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> T e. CC )
15 fveq2 5866 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
16 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( A ` i ) = ( A ` j ) )
1716oveq2d 6301 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) )
18 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
1918oveq2d 6301 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( T x. ( C ` i ) ) = ( T x. ( C ` j ) ) )
2017, 19oveq12d 6303 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
2115, 20eqeq12d 2489 . . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) <-> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
2221rspccva 3213 . . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
2322adantll 713 . . . . 5 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
24233ad2antl3 1160 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
25 oveq1 6292 . . . . . 6 |- ( ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) )
2625oveq1d 6300 . . . . 5 |- ( ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) -> ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
27 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28 subcl 9820 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. CC -> ( 1 - T ) e. CC )
30293ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
31 simp1 996 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( A ` j ) e. CC )
3230, 31mulcld 9617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
33 simp3 998 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> T e. CC )
34 simp2 997 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( C ` j ) e. CC )
3533, 34mulcld 9617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( T x. ( C ` j ) ) e. CC )
3632, 35, 34addsubassd 9951 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( ( T x. ( C ` j ) ) - ( C ` j ) ) ) )
37 subdi 9991 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - T ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) )
3829, 37syl3an1 1261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. CC /\ ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) )
39383coml 1203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) )
40 subdir 9992 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4127, 40mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4241ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
43423adant1 1014 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
44 mulid2 9595 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C ` j ) e. CC -> ( 1 x. ( C ` j ) ) = ( C ` j ) )
4544oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C ` j ) e. CC -> ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
46453ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4743, 46eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4847oveq2d 6301 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
4932, 34, 35subsub2d 9960 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( ( T x. ( C ` j ) ) - ( C ` j ) ) ) )
5039, 48, 493eqtrd 2512 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( ( T x. ( C ` j ) ) - ( C ` j ) ) ) )
5136, 50eqtr4d 2511 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) )
5251oveq1d 6300 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) ^ 2 ) )
53 subcl 9820 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
54533adant3 1016 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
5530, 54sqmuld 12291 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5652, 55eqtrd 2508 . . . . 5 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5726, 56sylan9eqr 2530 . . . 4 |- ( ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) /\ ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) -> ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
583, 6, 14, 24, 57syl31anc 1231 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5958sumeq2dv 13491 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
60 fzfid 12052 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
61 resubcl 9884 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
628, 10, 61sylancr 663 . . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - T ) e. RR )
6362resqcld 12305 . . . . . 6 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. RR )
6463recnd 9623 . . . . 5 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. CC )
6564adantr 465 . . . 4 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. CC )
66653ad2ant3 1019 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. CC )
6723adant1 1014 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
68673adant2r 1223 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
6953adant1 1014 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
70693adant2l 1222 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
7168, 70subcld 9931 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
7271sqcld 12277 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
73723expa 1196 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
74733adantl3 1154 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
7560, 66, 74fsummulc2 13565 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
7659, 75eqtr4d 2511 1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494   + caddc 9496   x. cmul 9498   <_ cle 9630   - cmin 9806   NNcn 10537   2c2 10586   [,]cicc 11533   ...cfz 11673   ^cexp 12135   sum_csu 13474   EEcee 23964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-ee 23967
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  24007
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