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Theorem ax5seglem2 23126
Description: Lemma for ax5seg 23135. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:   A, i, j   B, i, j   C, i, j   i, N, j   T, i, j
Proof of Theorem ax5seglem2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1041 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2 fveecn 23099 . . . . 5 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
31, 2sylancom 667 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
4 simpl2r 1042 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5 fveecn 23099 . . . . 5 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
64, 5sylancom 667 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
7 0re 9378 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
8 1re 9377 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
97, 8elicc2i 11353 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( T e. RR /\ 0 <_ T /\ T <_ 1 ) )
109simp1bi 1003 . . . . . . . 8 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. RR )
1110recnd 9404 . . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. CC )
1211adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) -> T e. CC )
13123ad2ant3 1011 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> T e. CC )
1413adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> T e. CC )
15 fveq2 5686 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
16 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( A ` i ) = ( A ` j ) )
1716oveq2d 6102 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) )
18 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
1918oveq2d 6102 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( T x. ( C ` i ) ) = ( T x. ( C ` j ) ) )
2017, 19oveq12d 6104 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
2115, 20eqeq12d 2452 . . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) <-> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
2221rspccva 3067 . . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
2322adantll 713 . . . . 5 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
24233ad2antl3 1152 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
25 oveq1 6093 . . . . . 6 |- ( ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) = ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) )
2625oveq1d 6101 . . . . 5 |- ( ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) -> ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
27 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28 subcl 9601 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. CC -> ( 1 - T ) e. CC )
30293ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
31 simp1 988 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( A ` j ) e. CC )
3230, 31mulcld 9398 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
33 simp3 990 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> T e. CC )
34 simp2 989 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( C ` j ) e. CC )
3533, 34mulcld 9398 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( T x. ( C ` j ) ) e. CC )
3632, 35, 34addsubassd 9731 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( ( T x. ( C ` j ) ) - ( C ` j ) ) ) )
37 subdi 9770 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 - T ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) )
3829, 37syl3an1 1251 . . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. CC /\ ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) )
39383coml 1194 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) )
40 subdir 9771 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4127, 40mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4241ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
43423adant1 1006 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
44 mulid2 9376 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C ` j ) e. CC -> ( 1 x. ( C ` j ) ) = ( C ` j ) )
4544oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C ` j ) e. CC -> ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
46453ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 x. ( C ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4743, 46eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) = ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
4847oveq2d 6102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
4932, 34, 35subsub2d 9740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) - ( ( C ` j ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( ( T x. ( C ` j ) ) - ( C ` j ) ) ) )
5039, 48, 493eqtrd 2474 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( ( T x. ( C ` j ) ) - ( C ` j ) ) ) )
5136, 50eqtr4d 2473 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) )
5251oveq1d 6101 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) ^ 2 ) )
53 subcl 9601 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
54533adant3 1008 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
5530, 54sqmuld 12012 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5652, 55eqtrd 2470 . . . . 5 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5726, 56sylan9eqr 2492 . . . 4 |- ( ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) /\ ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) -> ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
583, 6, 14, 24, 57syl31anc 1221 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5958sumeq2dv 13172 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
60 fzfid 11787 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
61 resubcl 9665 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
628, 10, 61sylancr 663 . . . . . . 7 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - T ) e. RR )
6362resqcld 12026 . . . . . 6 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. RR )
6463recnd 9404 . . . . 5 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. CC )
6564adantr 465 . . . 4 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. CC )
66653ad2ant3 1011 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - T ) ^ 2 ) e. CC )
6723adant1 1006 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
68673adant2r 1213 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
6953adant1 1006 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
70693adant2l 1212 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
7168, 70subcld 9711 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
7271sqcld 11998 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
73723expa 1187 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
74733adantl3 1146 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
7560, 66, 74fsummulc2 13243 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
7659, 75eqtr4d 2473 1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   <_ cle 9411   - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   ^cexp 11857   sum_csu 13155   EEcee 23085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-ee 23088
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  23128
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