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Theorem ax5seglem2 24005
Description: Lemma for ax5seg 24014. Rexpress another congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1049 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 fveecn 23978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
31, 2sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
4 simpl2r 1050 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 fveecn 23978 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
64, 5sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7 0re 9597 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
8 1re 9596 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
97, 8elicc2i 11591 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
109simp1bi 1011 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
1110recnd 9623 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  CC )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  T  e.  CC )
13123ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  T  e.  CC )
15 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
16 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( A `  i )  =  ( A `  j ) )
1716oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) )
18 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
1918oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( T  x.  ( C `  i ) )  =  ( T  x.  ( C `  j )
) )
2017, 19oveq12d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2115, 20eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  <->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
2221rspccva 3213 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2322adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
24233ad2antl3 1160 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
25 oveq1 6292 . . . . . 6  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( B `  j
)  -  ( C `
 j ) )  =  ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( C `  j )
) )
2625oveq1d 6300 . . . . 5  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( B `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )
27 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
28 subcl 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
30293ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
31 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
3230, 31mulcld 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  e.  CC )
33 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  T  e.  CC )
34 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
3533, 34mulcld 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j ) )  e.  CC )
3632, 35, 34addsubassd 9951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) )  -  ( C `
 j ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( T  x.  ( C `  j ) )  -  ( C `
 j ) ) ) )
37 subdi 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
) ) )
3829, 37syl3an1 1261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
) ) )
39383coml 1203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
) ) )
40 subdir 9992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( C `
 j ) )  =  ( ( 1  x.  ( C `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
4127, 40mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( C `
 j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
4241ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( C `
 j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
43423adant1 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( C `
 j ) )  =  ( ( 1  x.  ( C `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
44 mulid2 9595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C `  j )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( C `
 j ) )  =  ( C `  j ) )
4544oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C `  j )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  ( C `  j )
)  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( C `
 j )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
46453ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  x.  ( C `  j )
)  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( C `
 j )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
4743, 46eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( C `
 j ) )  =  ( ( C `
 j )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
4847oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  j )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
4932, 34, 35subsub2d 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  j )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( T  x.  ( C `  j )
)  -  ( C `
 j ) ) ) )
5039, 48, 493eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( T  x.  ( C `  j ) )  -  ( C `
 j ) ) ) )
5136, 50eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) )  -  ( C `
 j ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ) )
5251oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ) ^ 2 ) )
53 subcl 9820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
)  e.  CC )
54533adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) )  e.  CC )
5530, 54sqmuld 12291 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
5652, 55eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
5726, 56sylan9eqr 2530 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( B `  j
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  -> 
( ( ( B `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
583, 6, 14, 24, 57syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( B `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
5958sumeq2dv 13491 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) ) )
60 fzfid 12052 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
61 resubcl 9884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
628, 10, 61sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
6362resqcld 12305 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 1  -  T
) ^ 2 )  e.  RR )
6463recnd 9623 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 1  -  T
) ^ 2 )  e.  CC )
6564adantr 465 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( ( 1  -  T ) ^ 2 )  e.  CC )
66653ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( 1  -  T
) ^ 2 )  e.  CC )
6723adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
68673adant2r 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
6953adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
70693adant2l 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7168, 70subcld 9931 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) )  e.  CC )
7271sqcld 12277 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  e.  CC )
73723expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  e.  CC )
74733adantl3 1154 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7560, 66, 74fsummulc2 13565 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  T ) ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
7659, 75eqtr4d 2511 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    <_ cle 9630    - cmin 9806   NNcn 10537   2c2 10586   [,]cicc 11533   ...cfz 11673   ^cexp 12135   sum_csu 13474   EEcee 23964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-ee 23967
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  24007
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