MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccshftl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshftl 12179
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftl.1 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftl.2 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftl (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 resubcl 10224 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝑅) ∈ ℝ)
31, 22thd 254 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
43adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋𝑅) ∈ ℝ))
5 lesub1 10401 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
653expb 1258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
76adantlr 747 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅)))
8 iccshftl.1 . . . . 5 (𝐴𝑅) = 𝐶
98breq1i 4590 . . . 4 ((𝐴𝑅) ≤ (𝑋𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅))
107, 9syl6bb 275 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋𝑅)))
11 lesub1 10401 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
12113expb 1258 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1312an12s 839 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
1413adantll 746 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅)))
15 iccshftl.2 . . . . 5 (𝐵𝑅) = 𝐷
1615breq2i 4591 . . . 4 ((𝑋𝑅) ≤ (𝐵𝑅) ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16syl6bb 275 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1391 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 12109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2019adantr 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
21 resubcl 10224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
228, 21syl5eqelr 2693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 resubcl 10224 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵𝑅) ∈ ℝ)
2415, 23syl5eqelr 2693 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elicc2 12109 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 493 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 870 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 748 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋𝑅) ∧ (𝑋𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 299 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  cle 9954  cmin 10145  [,]cicc 12049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-icc 12053
This theorem is referenced by:  iccshftli  12180  iccf1o  12187
  Copyright terms: Public domain W3C validator