Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltsubsubaddltsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsubsubaddltsub 40347
Description: If the result of subtracting two numbers is greater than a number, the result of adding one of these subtracted numbers to the number is less than the result of subtracting the other subtracted number only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltsubsubaddltsub ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ltsubsubaddltsub
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
2 resubcl 10224 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
323adant3 1074 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
4 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
53, 4resubcld 10337 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑀) − 𝑁) ∈ ℝ)
65adantl 481 . . 3 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐿𝑀) − 𝑁) ∈ ℝ)
7 simpr2 1061 . . 3 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
81, 6, 7ltadd1d 10499 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (((𝐿𝑀) − 𝑁) + 𝑀)))
9 recn 9905 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
10 recn 9905 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
11 recn 9905 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12 nnpcan 10183 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐿𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿𝑁))
139, 10, 11, 12syl3an 1360 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐿𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿𝑁))
1413adantl 481 . . 3 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝐿𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿𝑁))
1514breq2d 4595 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐽 + 𝑀) < (((𝐿𝑀) − 𝑁) + 𝑀) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿𝑁)))
168, 15bitrd 267 1 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814   + caddc 9818   < clt 9953  cmin 10145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator