Theorem resubcl 9902

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9599	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 9599	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 9886	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 477	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 9901	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 9592	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 474	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2546	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   + caddc 9512   - cmin 9824   -ucneg 9825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827

This theorem is referenced by:  peano2rem  9905  resubcld  10008  ltaddsub  10047  leaddsub  10049  posdif  10066  lt2sub  10071  le2sub  10072  mulsuble0b  10435  cju  10552  elz2  10902  uzindOLD  10978  rpnnen1lem5  11237  difrp  11278  qbtwnre  11423  iooshf  11628  iccshftl  11681  lincmb01cmp  11688  uzsubsubfz  11732  difelfzle  11814  fzonmapblen  11867  eluzgtdifelfzo  11881  fracle1  11943  fldiv  11990  modcl  12003  2submod  12051  modsubdir  12058  expubnd  12229  absdiflt  13162  absdifle  13163  elicc4abs  13164  abssubge0  13172  abs2difabs  13179  rddif  13185  absrdbnd  13186  climsup  13504  flo1  13678  supcvg  13679  resin4p  13885  recos4p  13886  cos01bnd  13933  cos01gt0  13938  pythagtriplem12  14362  pythagtriplem14  14364  pythagtriplem16  14366  fldivp1  14428  prmreclem6  14451  cshwshashlem2  14593  bl2ioo  21423  ioo2bl  21424  ioo2blex  21425  blssioo  21426  blcvx  21429  reconnlem2  21458  opnreen  21462  iirev  21555  iihalf2  21559  iccpnfhmeo  21571  iccvolcl  22103  ioovolcl  22105  ismbf3d  22187  itgrecl  22330  cmvth  22518  dvle  22534  dvcvx  22547  dvfsumge  22549  aalioulem3  22856  aaliou  22860  aaliou3lem9  22872  abelthlem2  22953  abelthlem7  22959  abelth2  22963  sincosq1sgn  23017  sincosq2sgn  23018  sincosq3sgn  23019  sincosq4sgn  23020  tangtx  23024  sinq12gt0  23026  cosq14gt0  23029  cosq14ge0  23030  cosne0  23043  sinord  23047  resinf1o  23049  tanregt0  23052  efif1olem2  23056  relogdiv  23103  logneg2  23126  logdivlti  23131  logcnlem4  23152  logccv  23170  cxpaddlelem  23251  loglesqrt  23258  ang180lem2  23268  acoscos  23350  acosbnd  23357  acosrecl  23360  atanlogaddlem  23370  atans2  23388  leibpi  23399  divsqrtsumo1  23439  cvxcl  23440  scvxcvx  23441  jensenlem2  23443  amgmlem  23445  harmonicbnd4  23466  ftalem5  23476  basellem9  23488  mumullem2  23580  ppiub  23605  chtub  23613  bposlem1  23685  bposlem6  23690  bposlem9  23693  chtppilim  23786  chto1ub  23787  rplogsumlem2  23796  rpvmasumlem  23798  dchrisum0flblem1  23819  dchrisum0re  23824  log2sumbnd  23855  selberglem2  23857  pntrmax  23875  pntpbnd2  23898  pntlem3  23920  brbtwn2  24335  colinearalglem4  24339  eleesub  24341  eleesubd  24342  axsegconlem2  24348  ax5seglem2  24359  ax5seglem3  24361  axpaschlem  24370  axpasch  24371  axcontlem2  24395  xlt2addrd  27735  signshf  28742  zetacvg  28754  rescon  28888  sinccvglem  29235  fz0n  29328  refallfaccl  29358  sin2h  30250  tan2h  30252  mblfinlem3  30258  mblfinlem4  30259  dvtanlem  30269  itg2addnclem  30271  itg2addnclem3  30273  ftc1anclem5  30299  ftc1anclem6  30300  ftc1anclem7  30301  dvasin  30308  geomcau  30457  bfp  30525  ismrer1  30539  iccbnd  30541  rmspecsqrtnq  31046  jm2.17a  31102  acongeq  31125  jm3.1lem2  31164  areaquad  31388  lptre2pt  31849  dvnmul  31943  stoweidlem59  32044  fourierdlem42  32134  ltsubsubaddltsub  32588  zm1nn  32589  nn0resubcl  32592  subsubelfzo0  32602  ply1mulgsumlem2  33131