Theorem resubcl 9918

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9611	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 9611	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 9902	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 475	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 9917	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 9604	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 472	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2491	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   + caddc 9524   - cmin 9840   -ucneg 9841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842  df-neg 9843

This theorem is referenced by:  peano2rem  9921  resubcld  10027  ltaddsub  10066  leaddsub  10068  posdif  10085  lt2sub  10090  le2sub  10091  mulsuble0b  10454  cju  10571  elz2  10921  rpnnen1lem5  11256  difrp  11299  qbtwnre  11450  iooshf  11655  iccshftl  11708  lincmb01cmp  11715  uzsubsubfz  11759  difelfzle  11841  fzonmapblen  11898  eluzgtdifelfzo  11912  fracle1  11975  fldiv  12023  modcl  12036  2submod  12087  modsubdir  12094  expubnd  12269  absdiflt  13297  absdifle  13298  elicc4abs  13299  abssubge0  13307  abs2difabs  13314  rddif  13320  absrdbnd  13321  climsup  13639  flo1  13815  supcvg  13817  refallfaccl  13961  resin4p  14080  recos4p  14081  cos01bnd  14128  cos01gt0  14133  pythagtriplem12  14557  pythagtriplem14  14559  pythagtriplem16  14561  fldivp1  14623  prmreclem6  14646  cshwshashlem2  14788  bl2ioo  21587  ioo2bl  21588  ioo2blex  21589  blssioo  21590  blcvx  21593  reconnlem2  21622  opnreen  21626  iirev  21719  iihalf2  21723  iccpnfhmeo  21735  iccvolcl  22267  ioovolcl  22269  ismbf3d  22351  itgrecl  22494  cmvth  22682  dvle  22698  dvcvx  22711  dvfsumge  22713  aalioulem3  23020  aaliou  23024  aaliou3lem9  23036  abelthlem2  23117  abelthlem7  23123  abelth2  23127  sincosq1sgn  23181  sincosq2sgn  23182  sincosq3sgn  23183  sincosq4sgn  23184  tangtx  23188  sinq12gt0  23190  cosq14gt0  23193  cosq14ge0  23194  cosne0  23207  sinord  23211  resinf1o  23213  tanregt0  23216  efif1olem2  23220  relogdiv  23270  logneg2  23292  logdivlti  23297  logcnlem4  23318  logccv  23336  cxpaddlelem  23419  loglesqrt  23426  ang180lem2  23467  acoscos  23547  acosbnd  23554  acosrecl  23557  atanlogaddlem  23567  atans2  23585  leibpi  23596  divsqrtsumo1  23637  cvxcl  23638  scvxcvx  23639  jensenlem2  23641  amgmlem  23643  harmonicbnd4  23664  zetacvg  23668  ftalem5  23729  basellem9  23741  mumullem2  23833  ppiub  23858  chtub  23866  bposlem1  23938  bposlem6  23943  bposlem9  23946  chtppilim  24039  chto1ub  24040  rplogsumlem2  24049  rpvmasumlem  24051  dchrisum0flblem1  24072  dchrisum0re  24077  log2sumbnd  24108  selberglem2  24110  pntrmax  24128  pntpbnd2  24151  pntlem3  24173  brbtwn2  24612  colinearalglem4  24616  eleesub  24618  eleesubd  24619  axsegconlem2  24625  ax5seglem2  24636  ax5seglem3  24638  axpaschlem  24647  axpasch  24648  axcontlem2  24672  xlt2addrd  28006  signshf  29037  rescon  29530  sinccvglem  29877  fz0n  29924  sin2h  31397  tan2h  31399  mblfinlem3  31405  mblfinlem4  31406  dvtanlemOLD  31417  itg2addnclem  31419  itg2addnclem3  31421  ftc1anclem5  31447  ftc1anclem6  31448  ftc1anclem7  31449  dvasin  31454  geomcau  31514  bfp  31582  ismrer1  31596  iccbnd  31598  rmspecsqrtnq  35183  jm2.17a  35239  acongeq  35262  jm3.1lem2  35302  areaquad  35528  lptre2pt  36995  dvnmul  37089  stoweidlem59  37190  fourierdlem42  37280  bgoldbtbndlem2  37835  ltsubsubaddltsub  37937  zm1nn  37938  nn0resubcl  37941  subsubelfzo0  37951  ply1mulgsumlem2  38479  ltsubaddb  38611  ltsubsubb  38612  ltsubadd2b  38613