Theorem resubcl 9678

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9377	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 9377	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 9662	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 477	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 9677	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 9370	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 474	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2518	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   + caddc 9290   - cmin 9600   -ucneg 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-ltxr 9428  df-sub 9602  df-neg 9603

This theorem is referenced by:  peano2rem  9680  resubcld  9781  ltaddsub  9818  leaddsub  9820  posdif  9837  lt2sub  9842  le2sub  9843  mulsuble0b  10206  cju  10323  elz2  10668  uzindOLD  10741  rpnnen1lem5  10988  difrp  11029  qbtwnre  11174  iooshf  11379  iccshftl  11426  lincmb01cmp  11433  uzsubsubfz  11476  fzonmapblen  11597  fracle1  11658  fldiv  11704  modcl  11717  2submod  11765  modsubdir  11772  expubnd  11929  absdiflt  12810  absdifle  12811  elicc4abs  12812  abssubge0  12820  abs2difabs  12827  rddif  12833  absrdbnd  12834  climsup  13152  flo1  13322  supcvg  13323  resin4p  13427  recos4p  13428  cos01bnd  13475  cos01gt0  13480  pythagtriplem12  13898  pythagtriplem14  13900  pythagtriplem16  13902  fldivp1  13964  prmreclem6  13987  cshwshashlem2  14128  bl2ioo  20374  ioo2bl  20375  ioo2blex  20376  blssioo  20377  blcvx  20380  reconnlem2  20409  opnreen  20413  iirev  20506  iihalf2  20510  iccpnfhmeo  20522  iccvolcl  21053  ioovolcl  21055  ismbf3d  21137  itgrecl  21280  cmvth  21468  dvle  21484  dvcvx  21497  dvfsumge  21499  aalioulem3  21805  aaliou  21809  aaliou3lem9  21821  abelthlem2  21902  abelthlem7  21908  abelth2  21912  sincosq1sgn  21965  sincosq2sgn  21966  sincosq3sgn  21967  sincosq4sgn  21968  tangtx  21972  sinq12gt0  21974  cosq14gt0  21977  cosq14ge0  21978  cosne0  21991  sinord  21995  resinf1o  21997  tanregt0  22000  efif1olem2  22004  relogdiv  22046  logneg2  22069  logdivlti  22074  logcnlem4  22095  logccv  22113  cxpaddlelem  22194  loglesqr  22201  ang180lem2  22211  acoscos  22293  acosbnd  22300  acosrecl  22303  atanlogaddlem  22313  atans2  22331  leibpi  22342  divsqrsumo1  22382  cvxcl  22383  scvxcvx  22384  jensenlem2  22386  amgmlem  22388  harmonicbnd4  22409  ftalem5  22419  basellem9  22431  mumullem2  22523  ppiub  22548  chtub  22556  bposlem1  22628  bposlem6  22633  bposlem9  22636  chtppilim  22729  chto1ub  22730  rplogsumlem2  22739  rpvmasumlem  22741  dchrisum0flblem1  22762  dchrisum0re  22767  log2sumbnd  22798  selberglem2  22800  pntrmax  22818  pntpbnd2  22841  pntlem3  22863  brbtwn2  23156  colinearalglem4  23160  eleesub  23162  eleesubd  23163  axsegconlem2  23169  ax5seglem2  23180  ax5seglem3  23182  axpaschlem  23191  axpasch  23192  axcontlem2  23216  xlt2addrd  26056  signshf  26994  zetacvg  27006  rescon  27140  sinccvglem  27322  fz0n  27394  refallfaccl  27526  sin2h  28427  tan2h  28429  mblfinlem3  28435  mblfinlem4  28436  dvtanlem  28446  itg2addnclem  28448  itg2addnclem3  28450  ftc1anclem5  28476  ftc1anclem6  28477  ftc1anclem7  28478  dvasin  28485  geomcau  28660  bfp  28728  ismrer1  28742  iccbnd  28744  rmspecsqrnq  29252  jm2.17a  29308  acongeq  29331  jm3.1lem2  29372  areaquad  29597  stoweidlem59  29859  nn0resubcl  30188  subsubelfzo0  30215  eluzgtdifelfzo  30224  ltsubsubaddltsub  30472  zm1nn  30473  difelfzle  30492  ply1mulgsumlem2  30850