Theorem resubcl 9321

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9036	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 9036	. . 3 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		negsub 9305	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 464	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5		renegcl 9320	. . 3 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
6		readdcl 9029	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
7	5, 6	sylan2 461	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + -u B ) e. RR )
8	4, 7	eqeltrrd 2479	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   + caddc 8949   - cmin 9247   -ucneg 9248

This theorem is referenced by:  peano2rem  9323  resubcld  9421  ltaddsub  9458  leaddsub  9460  posdif  9477  lt2sub  9482  le2sub  9483  cju  9952  elz2  10254  uzindOLD  10320  rpnnen1lem5  10560  difrp  10601  qbtwnre  10741  iooshf  10945  iccshftl  10988  lincmb01cmp  10994  fracle1  11167  fldiv  11196  modcl  11208  modsubdir  11240  expubnd  11395  absdiflt  12076  absdifle  12077  elicc4abs  12078  abssubge0  12086  abs2difabs  12093  rddif  12099  absrdbnd  12100  climsup  12418  flo1  12589  supcvg  12590  resin4p  12694  recos4p  12695  cos01bnd  12742  cos01gt0  12747  pythagtriplem12  13155  pythagtriplem14  13157  pythagtriplem16  13159  fldivp1  13221  prmreclem6  13244  bl2ioo  18776  ioo2bl  18777  ioo2blex  18778  blssioo  18779  blcvx  18782  reconnlem2  18811  opnreen  18815  iirev  18907  iihalf2  18911  iccpnfhmeo  18923  iccvolcl  19414  ismbf3d  19499  itgrecl  19642  cmvth  19828  dvle  19844  dvcvx  19857  dvfsumge  19859  aalioulem3  20204  aaliou  20208  aaliou3lem9  20220  abelthlem2  20301  abelthlem7  20307  abelth2  20311  sincosq1sgn  20359  sincosq2sgn  20360  sincosq3sgn  20361  sincosq4sgn  20362  tangtx  20366  sinq12gt0  20368  cosq14gt0  20371  cosq14ge0  20372  cosne0  20385  sinord  20389  resinf1o  20391  tanregt0  20394  efif1olem2  20398  relogdiv  20440  logneg2  20463  logdivlti  20468  logcnlem4  20489  logccv  20507  cxpaddlelem  20588  loglesqr  20595  ang180lem2  20605  acoscos  20686  acosbnd  20693  acosrecl  20696  atanlogaddlem  20706  atans2  20724  leibpi  20735  divsqrsumo1  20775  cvxcl  20776  scvxcvx  20777  jensenlem2  20779  amgmlem  20781  harmonicbnd4  20802  ftalem5  20812  basellem9  20824  mumullem2  20916  ppiub  20941  chtub  20949  bposlem1  21021  bposlem6  21026  bposlem9  21029  chtppilim  21122  chto1ub  21123  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0re  21160  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  pntrmax  21211  pntpbnd2  21234  pntlem3  21256  xlt2addrd  24077  zetacvg  24752  rescon  24886  sinccvglem  25062  mulsuble0b  25146  fz0n  25155  refallfaccl  25286  brbtwn2  25748  colinearalglem4  25752  eleesub  25754  eleesubd  25755  axsegconlem2  25761  ax5seglem2  25772  ax5seglem3  25774  axpaschlem  25783  axpasch  25784  axcontlem2  25808  mblfinlem2  26144  mblfinlem3  26145  itg2addnclem  26155  itg2addnclem3  26157  geomcau  26355  bfp  26423  ismrer1  26437  iccbnd  26439  rmspecsqrnq  26859  jm2.17a  26915  acongeq  26938  jm3.1lem2  26979  ioovolcl  27609  stoweidlem59  27675  nn0resubcl  27975  ubmelm1fzo  27987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250