MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Structured version   Unicode version

Theorem resubcl 9669
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 9368 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 recn 9368 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
3 negsub 9653 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
41, 2, 3syl2an 474 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
5 renegcl 9668 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
6 readdcl 9361 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
75, 6sylan2 471 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  -u B )  e.  RR )
84, 7eqeltrrd 2516 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277    + caddc 9281    - cmin 9591   -ucneg 9592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593  df-neg 9594
This theorem is referenced by:  peano2rem  9671  resubcld  9772  ltaddsub  9809  leaddsub  9811  posdif  9828  lt2sub  9833  le2sub  9834  mulsuble0b  10197  cju  10314  elz2  10659  uzindOLD  10732  rpnnen1lem5  10979  difrp  11020  qbtwnre  11165  iooshf  11370  iccshftl  11417  lincmb01cmp  11424  uzsubsubfz  11467  fzonmapblen  11588  fracle1  11649  fldiv  11695  modcl  11708  2submod  11756  modsubdir  11763  expubnd  11920  absdiflt  12801  absdifle  12802  elicc4abs  12803  abssubge0  12811  abs2difabs  12818  rddif  12824  absrdbnd  12825  climsup  13143  flo1  13313  supcvg  13314  resin4p  13418  recos4p  13419  cos01bnd  13466  cos01gt0  13471  pythagtriplem12  13889  pythagtriplem14  13891  pythagtriplem16  13893  fldivp1  13955  prmreclem6  13978  cshwshashlem2  14119  bl2ioo  20328  ioo2bl  20329  ioo2blex  20330  blssioo  20331  blcvx  20334  reconnlem2  20363  opnreen  20367  iirev  20460  iihalf2  20464  iccpnfhmeo  20476  iccvolcl  21007  ioovolcl  21009  ismbf3d  21091  itgrecl  21234  cmvth  21422  dvle  21438  dvcvx  21451  dvfsumge  21453  aalioulem3  21759  aaliou  21763  aaliou3lem9  21775  abelthlem2  21856  abelthlem7  21862  abelth2  21866  sincosq1sgn  21919  sincosq2sgn  21920  sincosq3sgn  21921  sincosq4sgn  21922  tangtx  21926  sinq12gt0  21928  cosq14gt0  21931  cosq14ge0  21932  cosne0  21945  sinord  21949  resinf1o  21951  tanregt0  21954  efif1olem2  21958  relogdiv  22000  logneg2  22023  logdivlti  22028  logcnlem4  22049  logccv  22067  cxpaddlelem  22148  loglesqr  22155  ang180lem2  22165  acoscos  22247  acosbnd  22254  acosrecl  22257  atanlogaddlem  22267  atans2  22285  leibpi  22296  divsqrsumo1  22336  cvxcl  22337  scvxcvx  22338  jensenlem2  22340  amgmlem  22342  harmonicbnd4  22363  ftalem5  22373  basellem9  22385  mumullem2  22477  ppiub  22502  chtub  22510  bposlem1  22582  bposlem6  22587  bposlem9  22590  chtppilim  22683  chto1ub  22684  rplogsumlem2  22693  rpvmasumlem  22695  dchrisum0flblem1  22716  dchrisum0re  22721  log2sumbnd  22752  selberglem2  22754  pntrmax  22772  pntpbnd2  22795  pntlem3  22817  brbtwn2  23086  colinearalglem4  23090  eleesub  23092  eleesubd  23093  axsegconlem2  23099  ax5seglem2  23110  ax5seglem3  23112  axpaschlem  23121  axpasch  23122  axcontlem2  23146  xlt2addrd  25986  signshf  26919  zetacvg  26931  rescon  27065  sinccvglem  27246  fz0n  27318  refallfaccl  27450  sin2h  28347  tan2h  28349  mblfinlem3  28355  mblfinlem4  28356  dvtanlem  28366  itg2addnclem  28368  itg2addnclem3  28370  ftc1anclem5  28396  ftc1anclem6  28397  ftc1anclem7  28398  dvasin  28405  geomcau  28580  bfp  28648  ismrer1  28662  iccbnd  28664  rmspecsqrnq  29172  jm2.17a  29228  acongeq  29251  jm3.1lem2  29292  areaquad  29517  stoweidlem59  29779  nn0resubcl  30108  subsubelfzo0  30135  eluzgtdifelfzo  30144  ltsubsubaddltsub  30392  zm1nn  30393  difelfzle  30412
  Copyright terms: Public domain W3C validator