Theorem resubcl 6601

Description: Closure law for subtraction of reals.

Assertion

Ref	Expression
resubcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsub 6540	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
2		recn 6466	. . 3 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		recn 6466	. . 3 |- (B e. RR -> B e. CC)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + -uB) = (A - B))
5		readdcl 6455	. . 3 |- ((A e. RR /\ -uB e. RR) -> (A + -uB) e. RR)
6		renegcl 6600	. . 3 |- (B e. RR -> -uB e. RR)
7	5, 6	sylan2 500	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + -uB) e. RR)
8	4, 7	eqeltrrd 1972	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A - B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446

This theorem is referenced by:  resubcli 6602  peano2rem 6605  ltaddsub 6814  leaddsub 6816  posdif 6843  suble0 6864  uzindOLD 7420  qbtwnre 7459  intfracq 7496  fldiv 7497  modcl 7502  modlt 7504  modsubdir 7521  iooshf 7564  expubnd 7853  reim0 8024  absdiflt 8135  absdifle 8136  abssubge0 8147  abs2difabs 8155  caurei 8179  cauimi 8180  ser1absdiflem 8181  climge0 8372  climcmplem 8397  climsqueeze 8400  climsqueeze2 8401  climubii 8413  climsupi 8415  caucvglem5 8421  caucvglem6 8422  caucvgi 8423  cvgcmp3ci 8447  ivthlem6 8548  ivthlem7 8549  efaddlem1 8600  resin4p 8701  recos4p 8702  sin01bndlem3 8735  cos01bndlem3 8737  sin01gt0 8742  cos01gt0 8743  blss 9130  bl2ioo 9189  ioo2bl 9190  blssioo 9191  tgioolem 9192  lmle 9238  nvabs 9633  nmcnilem 9676  ipcj 9706  minveclem24 9913  minveclem25 9914  minveclem26 9915  minveclem27 9916  sincosq1sgn 10053  sincosq2sgn 10054  sincosq3sgn 10055  sincosq4sgn 10056  sinq12gt0t 10057  sineq0 10065  sineq0OLD 10066  efif1lem1 10084  efif1lem2 10085  shftefif1olem 10095  relogdiv 10125  projlem25 10843  projlem26 10844  truni3 14851  cbci 14852  altretop 14997  dmse1 15001  msr3 15003  msr4 15004  mslb1 15007  2wsms 15008  iintlem1 15010  iint 15012  trran 15014  cnvtr 15016  lvsovso 15038  reconnlem4 15449  reconnlem5 15450  rddif 15798  geomcau 15849  metdcn 15853  iccshftl 15859  iirev 15871  iihalf2 15873  lincmb01cmp 15878  heiborlem32 15986  rrnmet 16016  rrndstprj1 16017  rrndstprj2 16018  rrntotbndlem1 16020  rrntotbndlem2 16021  rrntotbnd 16022  ismrer1 16024  iccbnd 16026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513

Copyright terms: Public domain