Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccbnd 32809
 Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2 cnmet 22385 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4 iccssre 12126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
53, 4syl5eqss 3612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 9872 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
75, 6syl6ss 3580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8 metres2 21978 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
92, 7, 8sylancr 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
101, 9syl5eqel 2692 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11 resubcl 10224 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 6562 . . . . . . 7 (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14 ovres 6698 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐽𝑦𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1613, 15syl5eq 2656 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
177sselda 3568 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
187sselda 3568 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
1917, 18anim12dan 878 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2120cnmetdval 22384 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2316, 22eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
24 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐽)
2524, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 elicc2 12109 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2825, 27mpbid 221 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
2928simp1d 1066 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 10224 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐽)
3534, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36 elicc2 12109 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3835, 37mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938simp1d 1066 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4128simp3d 1068 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐵)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 10522 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦𝐴) ≤ (𝐵𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 10509 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝐴)
4438simp2d 1067 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑥)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 10073 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥)
4629, 30readdcld 9948 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 + (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1068 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐵)
4828simp2d 1067 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 10523 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 10505 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴))))
5149, 50mpbid 221 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 10073 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 14021 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 959 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴))
5523, 54eqbrtrd 4605 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5655ralrimivva 2954 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
57 breq2 4587 . . . . 5 (𝑟 = (𝐵𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
58572ralbidv 2972 . . . 4 (𝑟 = (𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
5958rspcev 3282 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6012, 56, 59syl2anc 691 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61 isbnd3b 32754 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
6210, 60, 61sylanbrc 695 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  [,]cicc 12049  abscabs 13822  Metcme 19553  Bndcbnd 32736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-bnd 32748 This theorem is referenced by:  icccmpALT  32810
 Copyright terms: Public domain W3C validator