Theorem iccbnd 32809

Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccbnd.1	⊢ 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iccbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccbnd.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2		cnmet 22385	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3		iccbnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4		iccssre 12126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5	3, 4	syl5eqss 3612	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 9872	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	syl6ss 3580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8		metres2 21978	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
9	2, 7, 8	sylancr 694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
10	1, 9	syl5eqel 2692	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11		resubcl 10224	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	1	oveqi 6562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14		ovres 6698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
16	13, 15	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
17	7	sselda 3568	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	7	sselda 3568	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	anim12dan 878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 22384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	16, 22	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
24		simprr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
25	24, 3	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		elicc2 12109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
29	28	simp1d 1066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
31		resubcl 10224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
33		simpll 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34		simprl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
35	34, 3	syl6eleq 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36		elicc2 12109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
39	38	simp1d 1066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	28	simp3d 1068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
42	29, 40, 33, 41	lesub1dd 10522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
43	29, 33, 30, 42	subled 10509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
44	38	simp2d 1067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
45	32, 33, 39, 43, 44	letrd 10073	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝑥)
46	29, 30	readdcld 9948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
47	38	simp3d 1068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
48	28	simp2d 1067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
49	33, 29, 40, 48	lesub2dd 10523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝐵 − 𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
50	40, 29, 30	lesubadd2d 10505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐵 − 𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴))))
51	49, 50	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))
52	39, 40, 46, 47, 51	letrd 10073	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))
53	39, 29, 30	absdifled 14021	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))))
54	45, 52, 53	mpbir2and 959	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ (𝐵 − 𝐴))
55	23, 54	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
56	55	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
57		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
58	57	2ralbidv 2972	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝐵 − 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
59	58	rspcev 3282	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
60	12, 56, 59	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61		isbnd3b 32754	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
62	10, 60, 61	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  [,]cicc 12049  abscabs 13822  Metcme 19553  Bndcbnd 32736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-bnd 32748

This theorem is referenced by:  icccmpALT  32810