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Theorem pntpbnd2 21234
 Description: Lemma for pntpbnd 21235. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r ψ
pntpbnd1.e
pntpbnd1.x
pntpbnd1.y
pntpbnd1.1
pntpbnd1.2
pntpbnd1.c
pntpbnd1.k
pntpbnd1.3
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   (,,)   ()   (,,,)   ()

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 10026 . . . 4
2 2ne0 10039 . . . 4
31, 2dividi 9703 . . 3
4 2re 10025 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
6 ioossre 10928 . . . . . 6
7 pntpbnd1.e . . . . . 6
86, 7sseldi 3306 . . . . 5
9 eliooord 10926 . . . . . . 7
107, 9syl 16 . . . . . 6
1110simpld 446 . . . . 5
128, 11elrpd 10602 . . . 4
13 2rp 10573 . . . . 5
1413a1i 11 . . . 4
15 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9
1615oveq1i 6050 . . . . . . . 8
17 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10
1817rpcnd 10606 . . . . . . . . 9
19 pncan2 9268 . . . . . . . . 9
2018, 1, 19sylancl 644 . . . . . . . 8
2116, 20syl5eq 2448 . . . . . . 7
2221oveq1d 6055 . . . . . 6
23 rpaddcl 10588 . . . . . . . . . 10
2417, 13, 23sylancl 644 . . . . . . . . 9
2515, 24syl5eqel 2488 . . . . . . . 8
2625rpcnd 10606 . . . . . . 7
278recnd 9070 . . . . . . 7
2812rpne0d 10609 . . . . . . 7
2926, 18, 27, 28divsubdird 9785 . . . . . 6
3022, 29eqtr3d 2438 . . . . 5
3125, 12rpdivcld 10621 . . . . . . 7
3231rpred 10604 . . . . . 6
3317rpred 10604 . . . . . . 7
3433, 12rerpdivcld 10631 . . . . . 6
35 resubcl 9321 . . . . . . . 8
3632, 4, 35sylancl 644 . . . . . . 7
37 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12
3832reefcld 12645 . . . . . . . . . . . . 13
39 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4137, 40mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
4241simpld 446 . . . . . . . . . 10
43 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11
45 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11
47 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . 12
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11
49 efgt1 12672 . . . . . . . . . . . . 13
5031, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5141simprd 450 . . . . . . . . . . . 12
5246, 38, 42, 50, 51ltletrd 9186 . . . . . . . . . . 11
5344, 46, 42, 48, 52lttrd 9187 . . . . . . . . . 10
5442, 53elrpd 10602 . . . . . . . . 9
5554relogcld 20471 . . . . . . . 8
56 resubcl 9321 . . . . . . . 8
5755, 4, 56sylancl 644 . . . . . . 7
5854reeflogd 20472 . . . . . . . . . 10
5951, 58breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9
60 efle 12674 . . . . . . . . . 10
6132, 55, 60syl2anc 643 . . . . . . . . 9
6259, 61mpbird 224 . . . . . . . 8
6332, 55, 5, 62lesub1dd 9598 . . . . . . 7
64 fzfid 11267 . . . . . . . . 9
65 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15
6765, 66sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
68 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 rerpdivcl 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
704, 12, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170reefcld 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7268, 71syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 efgt0 12659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7470, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574, 68syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7672rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7966, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8144, 72, 67, 75, 80lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . . . 15
8244, 67, 81ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . 14
83 flge0nn0 11180 . . . . . . . . . . . . . 14
8467, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
85 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12
87 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . 12
88 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . 13
8988uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . 12
9086, 87, 89syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
9190peano2nnd 9973 . . . . . . . . . 10
9291nnrecred 10001 . . . . . . . . 9
9364, 92fsumrecl 12483 . . . . . . . 8
9455recnd 9070 . . . . . . . . . 10
951a1i 11 . . . . . . . . . 10
9667, 81elrpd 10602 . . . . . . . . . . . 12
9796relogcld 20471 . . . . . . . . . . 11
9897recnd 9070 . . . . . . . . . 10
9994, 95, 98pnpcan2d 9405 . . . . . . . . 9
10054, 96relogmuld 20473 . . . . . . . . . . 11
10155, 97readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13
102100, 101eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12
103 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . 14
104 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . . . 14
109103, 108fsumrecl 12483 . . . . . . . . . . . . 13
110109, 93readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12
111 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . 14
1124, 97, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
113112, 93readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12
11442, 67remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11567recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116115mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11746, 42, 52ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118 lemul1 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11946, 42, 67, 81, 118syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120117, 119mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121116, 120eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12244, 67, 114, 82, 121letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123 flge0nn0 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124114, 122, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127relogcld 20471 . . . . . . . . . . . . . 14
129 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131114flcld 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132131peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134133adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136135recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137134, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139130, 130, 132, 137, 138fsumshftm 12519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142131zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145142, 143, 144sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146141, 145oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147146sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148 reflcl 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14967, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150149ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151 fzdisj 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152150, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153 flwordi 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15467, 114, 121, 153syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15684, 124, 154, 155syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157 fzsplit 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
159 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
161160adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162161, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163162nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164163recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165152, 158, 159, 164fsumsplit 12488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166139, 147, 1653eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15
167166, 110eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . 14
168 fllep1 11165 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169114, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
17054, 96rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171170, 127logled 20475 . . . . . . . . . . . . . . 15
172169, 171mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
173 emre 20797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175167, 128resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176 emgt0 20798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17743, 173, 176ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179 harmonicbnd 20795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180126, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181173, 45elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182181simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183180, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18444, 174, 175, 178, 183letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . 15
185167, 128subge0d 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15
186184, 185mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
187102, 128, 167, 172, 186letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13
188187, 166breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12
18967flcld 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
190189peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . 16
191 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
192191adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
193192, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
194130, 130, 190, 193, 138fsumshftm 12519 . . . . . . . . . . . . . . 15
195149recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197195, 143, 196sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198141, 197oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199198sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . 15
200194, 199eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
201200, 109eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15
20286nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
203202relogcld 20471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20545, 203, 204sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
206 harmonicbnd 20795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20786, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208173, 45elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
209208simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
210207, 209syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211201, 203, 46lesubaddd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212210, 211mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15
213 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21445, 97, 213sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
216149, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2175, 67remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
218 epr 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
219 rpmulcl 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220218, 96, 219sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
221220rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
222 flle 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22367, 222syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22414, 12rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
225 efgt1 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
226224, 225syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
227226, 68syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
22846, 72, 67, 227, 80lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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