Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqf2 12682
 Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl2.1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqf2.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
seqf2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seqfn 12675 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
4 seqcl2.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
6 seqcl2.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
76adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
8 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9 elfzuz 12209 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
10 seqf2.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
119, 10sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
1211adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
135, 7, 8, 12seqcl2 12681 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
1413ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
15 ffnfv 6295 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶))
163, 14, 15sylanbrc 695 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶)
17 seqf2.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
1817feq2i 5950 . 2 (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶)
1916, 18sylibr 223 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664 This theorem is referenced by:  seqf  12684  ruclem6  14803  sadcf  15013  smupf  15038  sseqfv2  29783
 Copyright terms: Public domain W3C validator