MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11694
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11692 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ZZ>=cuz 11091   ...cfz 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-neg 9813  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683
This theorem is referenced by:  elfzel1  11697  elfzelz  11698  elfzle1  11699  eluzfz2b  11705  fzsplit2  11720  fzsplit  11721  fzopth  11730  fzss1  11732  fzss2  11733  fzssuz  11734  fzp1elp1  11743  uzsplit  11760  elfzmlbm  11794  fzosplit  11839  seqf2  12107  seqfeq2  12111  seqfeq  12113  sermono  12120  seqf1olem2  12128  seqz  12136  seqfeq3  12138  ser0  12140  seqcoll  12493  swrdval2  12628  swrd0val  12629  swrdswrd  12666  swrdccatin12  12697  splid  12710  spllen  12711  splfv1  12712  limsupgre  13285  clim2ser  13458  clim2ser2  13459  isermulc2  13461  iserle  13463  climub  13465  isercolllem1  13468  isercolllem3  13470  isercoll2  13472  iseraltlem1  13485  fsumcvg  13515  fsumser  13533  isumclim3  13555  isumadd  13563  fsump1i  13565  fsum0diaglem  13572  o1fsum  13608  iserabs  13610  cvgcmp  13611  cvgcmpub  13612  cvgcmpce  13613  isumsplit  13633  isum1p  13634  isumsup2  13639  climcndslem1  13642  climcndslem2  13643  climcnds  13644  geoserg  13658  mertenslem1  13674  clim2div  13679  prodf1  13681  prodfn0  13684  ntrivcvgmullem  13691  fprodcvg  13718  fprodntriv  13730  fprodabs  13759  fprodeq0  13760  iprodclim3  13774  iprodmul  13777  fprodefsum  13811  prmind2  14209  pcfac  14399  prmreclem4  14418  prmreclem5  14419  efgtlen  16722  efgredleme  16739  efgredlemc  16741  frgpuplem  16768  ovolunlem1a  21884  ovolicc1  21904  uniioombllem3  21971  dvfsumrlimf  22403  dvfsumlem1  22404  dvfsumlem2  22405  dvfsumlem3  22406  dvfsumlem4  22407  dvfsum2  22412  coeidlem  22611  coeid3  22614  vieta1lem2  22683  mtest  22775  mtestbdd  22776  birthdaylem2  23258  wilth  23321  ftalem4  23325  ftalem5  23326  chtub  23463  mersenne  23478  bposlem6  23540  lgsdilem2  23582  rplogsumlem1  23645  rplogsumlem2  23646  dchrisumlem2  23651  dchrisum0lem1  23677  logdivbnd  23717  pntrsumbnd2  23728  pntrlog2bndlem1  23738  pntpbnd1  23747  pntpbnd2  23748  pntlemh  23760  pntlemj  23764  axlowdimlem17  24237  fzsplit3  27575  ballotlemfrci  28443  wrdsplex  28472  subfacp1lem3  28603  predfz  29258  mblfinlem2  30027  mettrifi  30225  geomcau  30227  elfzfzo  31407  fmulcl  31503  fmuldfeqlem1  31504  iblspltprt  31662  itgspltprt  31668  stoweidlem11  31682  stoweidlem17  31688  stirlinglem7  31751  fourierdlem15  31793  fourierdlem25  31803  ssfz12  32168
  Copyright terms: Public domain W3C validator