MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11435
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11433 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 457 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424
This theorem is referenced by:  elfzel1  11438  elfzelz  11439  elfzle1  11440  eluzfz2b  11446  fzsplit2  11460  fzsplit  11461  fzopth  11481  fzss1  11483  fzss2  11484  fzssuz  11485  fzp1elp1  11493  uzsplit  11513  fzosplit  11565  seqf2  11808  seqfeq2  11812  seqfeq  11814  sermono  11821  seqf1olem2  11829  seqz  11837  seqfeq3  11839  ser0  11841  seqcoll  12199  swrdval2  12299  swrd0val  12300  swrdswrd  12337  swrdccatin12  12365  splid  12378  spllen  12379  splfv1  12380  limsupgre  12942  clim2ser  13115  clim2ser2  13116  isermulc2  13118  iserle  13120  climub  13122  isercolllem1  13125  isercolllem3  13127  isercoll2  13129  iseraltlem1  13142  fsumcvg  13172  fsumser  13190  isumclim3  13209  isumadd  13217  fsump1i  13219  fsum0diaglem  13226  o1fsum  13258  iserabs  13260  cvgcmp  13261  cvgcmpub  13262  cvgcmpce  13263  isumsplit  13285  isum1p  13286  isumsup2  13291  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  climcnds  13296  geoserg  13310  mertenslem1  13326  prmind2  13756  pcfac  13943  prmreclem4  13962  prmreclem5  13963  efgtlen  16202  efgredleme  16219  efgredlemc  16221  frgpuplem  16248  ovolunlem1a  20820  ovolicc1  20840  uniioombllem3  20906  dvfsumrlimf  21338  dvfsumlem1  21339  dvfsumlem2  21340  dvfsumlem3  21341  dvfsumlem4  21342  dvfsum2  21347  coeidlem  21589  coeid3  21592  vieta1lem2  21661  mtest  21753  mtestbdd  21754  birthdaylem2  22230  wilth  22293  ftalem4  22297  ftalem5  22298  chtub  22435  mersenne  22450  bposlem6  22512  lgsdilem2  22554  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  dchrisumlem2  22623  dchrisum0lem1  22649  logdivbnd  22689  pntrsumbnd2  22700  pntrlog2bndlem1  22710  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntlemh  22732  pntlemj  22736  axlowdimlem17  23026  fzsplit3  25900  ballotlemfrci  26757  wrdsplex  26786  subfacp1lem3  26917  clim2div  27250  prodf1  27252  prodfn0  27255  ntrivcvgmullem  27262  fprodcvg  27289  fprodntriv  27301  fprodabs  27330  fprodefsum  27331  fprodeq0  27332  iprodclim3  27346  iprodmul  27349  predfz  27510  mblfinlem2  28270  mettrifi  28494  geomcau  28496  fmulcl  29604  fmuldfeqlem1  29605  stoweidlem11  29649  stoweidlem17  29655  stirlinglem7  29718  ssfz12  30040
  Copyright terms: Public domain W3C validator