MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11441
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11439 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  elfzel1  11444  elfzelz  11445  elfzle1  11446  eluzfz2b  11452  fzsplit2  11466  fzsplit  11467  fzopth  11487  fzss1  11489  fzss2  11490  fzssuz  11491  fzp1elp1  11501  uzsplit  11522  fzosplit  11574  seqf2  11817  seqfeq2  11821  seqfeq  11823  sermono  11830  seqf1olem2  11838  seqz  11846  seqfeq3  11848  ser0  11850  seqcoll  12208  swrdval2  12308  swrd0val  12309  swrdswrd  12346  swrdccatin12  12374  splid  12387  spllen  12388  splfv1  12389  limsupgre  12951  clim2ser  13124  clim2ser2  13125  isermulc2  13127  iserle  13129  climub  13131  isercolllem1  13134  isercolllem3  13136  isercoll2  13138  iseraltlem1  13151  fsumcvg  13181  fsumser  13199  isumclim3  13218  isumadd  13226  fsump1i  13228  fsum0diaglem  13235  o1fsum  13268  iserabs  13270  cvgcmp  13271  cvgcmpub  13272  cvgcmpce  13273  isumsplit  13295  isum1p  13296  isumsup2  13301  climcndslem1  13304  climcndslem2  13305  climcnds  13306  geoserg  13320  mertenslem1  13336  prmind2  13766  pcfac  13953  prmreclem4  13972  prmreclem5  13973  efgtlen  16214  efgredleme  16231  efgredlemc  16233  frgpuplem  16260  ovolunlem1a  20954  ovolicc1  20974  uniioombllem3  21040  dvfsumrlimf  21472  dvfsumlem1  21473  dvfsumlem2  21474  dvfsumlem3  21475  dvfsumlem4  21476  dvfsum2  21481  coeidlem  21680  coeid3  21683  vieta1lem2  21752  mtest  21844  mtestbdd  21845  birthdaylem2  22321  wilth  22384  ftalem4  22388  ftalem5  22389  chtub  22526  mersenne  22541  bposlem6  22603  lgsdilem2  22645  rplogsumlem1  22708  rplogsumlem2  22709  dchrisumlem2  22714  dchrisum0lem1  22740  logdivbnd  22780  pntrsumbnd2  22791  pntrlog2bndlem1  22801  pntpbnd1  22810  pntpbnd2  22811  pntlemh  22823  pntlemj  22827  axlowdimlem17  23155  fzsplit3  26029  ballotlemfrci  26862  wrdsplex  26891  subfacp1lem3  27022  clim2div  27355  prodf1  27357  prodfn0  27360  ntrivcvgmullem  27367  fprodcvg  27394  fprodntriv  27406  fprodabs  27435  fprodefsum  27436  fprodeq0  27437  iprodclim3  27451  iprodmul  27454  predfz  27615  mblfinlem2  28382  mettrifi  28606  geomcau  28608  fmulcl  29715  fmuldfeqlem1  29716  stoweidlem11  29759  stoweidlem17  29765  stirlinglem7  29828  ssfz12  30150
  Copyright terms: Public domain W3C validator