MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Unicode version

Theorem elfzuz 11011
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to a set of upper integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11009 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  elfzel1  11014  elfzelz  11015  elfzle1  11016  eluzfz2b  11022  fzsplit2  11032  fzsplit  11033  fzopth  11045  fzss1  11047  fzss2  11048  fzssuz  11049  fzp1elp1  11056  uzsplit  11073  fzosplit  11121  seqf2  11297  seqfeq2  11301  seqfeq  11303  sermono  11310  seqf1olem2  11318  seqz  11326  seqfeq3  11328  ser0  11330  seqcoll  11667  swrdval2  11722  swrd0val  11723  splid  11737  spllen  11738  splfv1  11739  limsupgre  12230  clim2ser  12403  clim2ser2  12404  isermulc2  12406  iserle  12408  climub  12410  isercolllem1  12413  isercolllem3  12415  isercoll2  12417  iseraltlem1  12430  fsumcvg  12461  fsumser  12479  isumclim3  12498  isumadd  12506  fsump1i  12508  fsum0diaglem  12515  o1fsum  12547  iserabs  12549  cvgcmp  12550  cvgcmpub  12551  cvgcmpce  12552  isumsplit  12575  isum1p  12576  isumsup2  12581  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  climcnds  12586  geoserg  12600  mertenslem1  12616  prmind2  13045  pcfac  13223  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  efgtlen  15313  efgredleme  15330  efgredlemc  15332  frgpuplem  15359  ovolunlem1a  19345  ovolicc1  19365  uniioombllem3  19430  dvfsumrlimf  19862  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem2  19864  dvfsumlem3  19865  dvfsumlem4  19866  dvfsum2  19871  coeidlem  20109  coeid3  20112  vieta1lem2  20181  mtest  20273  mtestbdd  20274  birthdaylem2  20744  wilth  20807  ftalem4  20811  ftalem5  20812  chtub  20949  mersenne  20964  bposlem6  21026  lgsdilem2  21068  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  dchrisumlem2  21137  dchrisum0lem1  21163  logdivbnd  21203  pntrsumbnd2  21214  pntrlog2bndlem1  21224  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemh  21246  pntlemj  21250  fzsplit3  24103  ballotlemfrci  24738  subfacp1lem3  24821  clim2div  25170  prodf1  25172  prodfn0  25175  ntrivcvgmullem  25182  fprodcvg  25209  fprodntriv  25221  fprodabs  25250  fprodefsum  25251  fprodeq0  25252  iprodclim3  25266  iprodmul  25269  predfz  25417  axlowdimlem17  25801  mblfinlem  26143  mettrifi  26353  geomcau  26355  fmulcl  27578  fmuldfeqlem1  27579  stoweidlem11  27627  stoweidlem17  27633  stirlinglem7  27696  ssfz12  27976  swrdswrd  28011  swrdccatin2lem1  28017  swrdccatin12  28026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator