MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11559
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11557 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-neg 9702  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548
This theorem is referenced by:  elfzel1  11562  elfzelz  11563  elfzle1  11564  eluzfz2b  11570  fzsplit2  11584  fzsplit  11585  fzopth  11605  fzss1  11607  fzss2  11608  fzssuz  11609  fzp1elp1  11619  uzsplit  11640  fzosplit  11692  seqf2  11935  seqfeq2  11939  seqfeq  11941  sermono  11948  seqf1olem2  11956  seqz  11964  seqfeq3  11966  ser0  11968  seqcoll  12327  swrdval2  12427  swrd0val  12428  swrdswrd  12465  swrdccatin12  12493  splid  12506  spllen  12507  splfv1  12508  limsupgre  13070  clim2ser  13243  clim2ser2  13244  isermulc2  13246  iserle  13248  climub  13250  isercolllem1  13253  isercolllem3  13255  isercoll2  13257  iseraltlem1  13270  fsumcvg  13300  fsumser  13318  isumclim3  13337  isumadd  13345  fsump1i  13347  fsum0diaglem  13354  o1fsum  13387  iserabs  13389  cvgcmp  13390  cvgcmpub  13391  cvgcmpce  13392  isumsplit  13414  isum1p  13415  isumsup2  13420  climcndslem1  13423  climcndslem2  13424  climcnds  13425  geoserg  13439  mertenslem1  13455  prmind2  13885  pcfac  14072  prmreclem4  14091  prmreclem5  14092  efgtlen  16336  efgredleme  16353  efgredlemc  16355  frgpuplem  16382  ovolunlem1a  21104  ovolicc1  21124  uniioombllem3  21191  dvfsumrlimf  21623  dvfsumlem1  21624  dvfsumlem2  21625  dvfsumlem3  21626  dvfsumlem4  21627  dvfsum2  21632  coeidlem  21831  coeid3  21834  vieta1lem2  21903  mtest  21995  mtestbdd  21996  birthdaylem2  22472  wilth  22535  ftalem4  22539  ftalem5  22540  chtub  22677  mersenne  22692  bposlem6  22754  lgsdilem2  22796  rplogsumlem1  22859  rplogsumlem2  22860  dchrisumlem2  22865  dchrisum0lem1  22891  logdivbnd  22931  pntrsumbnd2  22942  pntrlog2bndlem1  22952  pntpbnd1  22961  pntpbnd2  22962  pntlemh  22974  pntlemj  22978  axlowdimlem17  23349  fzsplit3  26216  ballotlemfrci  27047  wrdsplex  27076  subfacp1lem3  27207  clim2div  27541  prodf1  27543  prodfn0  27546  ntrivcvgmullem  27553  fprodcvg  27580  fprodntriv  27592  fprodabs  27621  fprodefsum  27622  fprodeq0  27623  iprodclim3  27637  iprodmul  27640  predfz  27801  mblfinlem2  28570  mettrifi  28794  geomcau  28796  fmulcl  29903  fmuldfeqlem1  29904  stoweidlem11  29947  stoweidlem17  29953  stirlinglem7  30016  ssfz12  30338
  Copyright terms: Public domain W3C validator