MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11680
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11678 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  elfzel1  11683  elfzelz  11684  elfzle1  11685  eluzfz2b  11691  fzsplit2  11706  fzsplit  11707  fzopth  11716  fzss1  11718  fzss2  11719  fzssuz  11720  fzp1elp1  11729  uzsplit  11746  fzosplit  11822  seqf2  12090  seqfeq2  12094  seqfeq  12096  sermono  12103  seqf1olem2  12111  seqz  12119  seqfeq3  12121  ser0  12123  seqcoll  12474  swrdval2  12606  swrd0val  12607  swrdswrd  12644  swrdccatin12  12675  splid  12688  spllen  12689  splfv1  12690  limsupgre  13263  clim2ser  13436  clim2ser2  13437  isermulc2  13439  iserle  13441  climub  13443  isercolllem1  13446  isercolllem3  13448  isercoll2  13450  iseraltlem1  13463  fsumcvg  13493  fsumser  13511  isumclim3  13533  isumadd  13541  fsump1i  13543  fsum0diaglem  13550  o1fsum  13586  iserabs  13588  cvgcmp  13589  cvgcmpub  13590  cvgcmpce  13591  isumsplit  13611  isum1p  13612  isumsup2  13617  climcndslem1  13620  climcndslem2  13621  climcnds  13622  geoserg  13636  mertenslem1  13652  prmind2  14083  pcfac  14273  prmreclem4  14292  prmreclem5  14293  efgtlen  16540  efgredleme  16557  efgredlemc  16559  frgpuplem  16586  ovolunlem1a  21642  ovolicc1  21662  uniioombllem3  21729  dvfsumrlimf  22161  dvfsumlem1  22162  dvfsumlem2  22163  dvfsumlem3  22164  dvfsumlem4  22165  dvfsum2  22170  coeidlem  22369  coeid3  22372  vieta1lem2  22441  mtest  22533  mtestbdd  22534  birthdaylem2  23010  wilth  23073  ftalem4  23077  ftalem5  23078  chtub  23215  mersenne  23230  bposlem6  23292  lgsdilem2  23334  rplogsumlem1  23397  rplogsumlem2  23398  dchrisumlem2  23403  dchrisum0lem1  23429  logdivbnd  23469  pntrsumbnd2  23480  pntrlog2bndlem1  23490  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntlemh  23512  pntlemj  23516  axlowdimlem17  23937  fzsplit3  27267  ballotlemfrci  28106  wrdsplex  28135  subfacp1lem3  28266  clim2div  28600  prodf1  28602  prodfn0  28605  ntrivcvgmullem  28612  fprodcvg  28639  fprodntriv  28651  fprodabs  28680  fprodefsum  28681  fprodeq0  28682  iprodclim3  28696  iprodmul  28699  predfz  28860  mblfinlem2  29629  mettrifi  29853  geomcau  29855  elfzfzo  31035  fmulcl  31131  fmuldfeqlem1  31132  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  stoweidlem11  31311  stoweidlem17  31317  stirlinglem7  31380  fourierdlem15  31422  fourierdlem25  31432  ssfz12  31799
  Copyright terms: Public domain W3C validator