Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodmul 14573
 Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodmul.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodmul.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodmul.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodmul.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodmul.6 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
iprodmul.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
iprodmul.8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iprodmul (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐵,𝑚,𝑧   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑚,𝑛   𝜑,𝑚,𝑦   𝑦,𝑀   𝑧,𝑚,𝑀   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘,𝑚)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables 𝑗 𝑎 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodmul.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodmul.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodmul.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodmul.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7 iprodmul.6 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐺) ⇝ 𝑧))
8 iprodmul.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
9 iprodmul.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
11 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑘))
12 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑘))
1311, 12oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
14 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
15 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 14473 . . 3 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
19 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑎))
20 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑎 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑎))
2119, 20oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑎 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
2221cbvmptv 4678 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))
23 seqeq3 12668 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))) → seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) = seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎))))
2524breq1i 4590 . . . . . 6 (seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤)
2625anbi2i 726 . . . . 5 ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2726exbii 1764 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2827rexbii 3023 . . 3 (∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑎𝑍 ↦ ((𝐹𝑎) · (𝐺𝑎)))) ⇝ 𝑤))
2918, 28sylibr 223 . 2 (𝜑 → ∃𝑝𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑝( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ 𝑤))
30 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
316, 10mulcld 9939 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
32 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
33 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
3432, 33oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
35 eqid 2610 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))
3634, 35fvmptg 6189 . . . 4 ((𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
3730, 31, 36syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
384, 8oveq12d 6567 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = (𝐴 · 𝐵))
3937, 38eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · 𝐵))
405, 9mulcld 9939 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
411, 2, 3, 4, 5iprodclim2 14569 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
42 seqex 12665 . . . 4 seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ∈ V)
441, 2, 7, 8, 9iprodclim2 14569 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐵)
451, 2, 6prodf 14458 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
4645ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
471, 2, 10prodf 14458 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
4847ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
49 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
5049, 1syl6eleq 2698 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
51 elfzuz 12209 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5251, 1syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
5352, 6sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5453adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5552, 10sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5655adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
5737adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5852, 57sylan2 490 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5950, 54, 56, 58prodfmul 14461 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑗)))
601, 2, 41, 43, 44, 46, 48, 59climmul 14211 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) · (𝐺𝑚)))) ⇝ (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
611, 2, 29, 39, 40, 60iprodclim 14568 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 (𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘𝑍 𝐴 · ∏𝑘𝑍 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063  ∏cprod 14474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator