Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodmul Unicode version

Theorem iprodmul 25269
 Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1
iprodmul.2
iprodmul.3
iprodmul.4
iprodmul.5
iprodmul.6
iprodmul.7
iprodmul.8
Assertion
Ref Expression
iprodmul
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2
2 iprodmul.2 . 2
3 iprodmul.3 . . . 4
4 iprodmul.4 . . . . 5
5 iprodmul.5 . . . . 5
64, 5eqeltrd 2478 . . . 4
7 iprodmul.6 . . . 4
8 iprodmul.7 . . . . 5
9 iprodmul.8 . . . . 5
108, 9eqeltrd 2478 . . . 4
11 fveq2 5687 . . . . . . 7
12 fveq2 5687 . . . . . . 7
1311, 12oveq12d 6058 . . . . . 6
14 eqid 2404 . . . . . 6
15 ovex 6065 . . . . . 6
1613, 14, 15fvmpt 5765 . . . . 5
1716adantl 453 . . . 4
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 25183 . . 3
19 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
20 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
2119, 20oveq12d 6058 . . . . . . . . 9
2221cbvmptv 4260 . . . . . . . 8
23 seqeq3 11283 . . . . . . . 8
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . 7
2524breq1i 4179 . . . . . 6
2625anbi2i 676 . . . . 5
2726exbii 1589 . . . 4
2827rexbii 2691 . . 3
2918, 28sylibr 204 . 2
30 simpr 448 . . . 4
316, 10mulcld 9064 . . . 4
32 fveq2 5687 . . . . . 6
33 fveq2 5687 . . . . . 6
3432, 33oveq12d 6058 . . . . 5
35 eqid 2404 . . . . 5
3634, 35fvmptg 5763 . . . 4
3730, 31, 36syl2anc 643 . . 3
384, 8oveq12d 6058 . . 3
3937, 38eqtrd 2436 . 2
405, 9mulcld 9064 . 2
411, 2, 3, 4, 5iprodclim2 25265 . . 3
42 seqex 11280 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
441, 2, 7, 8, 9iprodclim2 25265 . . 3
451, 2, 6prodf 25168 . . . 4
4645ffvelrnda 5829 . . 3
471, 2, 10prodf 25168 . . . 4
4847ffvelrnda 5829 . . 3
49 simpr 448 . . . . 5
5049, 1syl6eleq 2494 . . . 4
51 elfzuz 11011 . . . . . . 7
5251, 1syl6eleqr 2495 . . . . . 6
5352, 6sylan2 461 . . . . 5
5453adantlr 696 . . . 4
5552, 10sylan2 461 . . . . 5
5655adantlr 696 . . . 4
5737adantlr 696 . . . . 5
5852, 57sylan2 461 . . . 4
5950, 54, 56, 58prodfmul 25171 . . 3
601, 2, 41, 43, 44, 46, 48, 59climmul 12381 . 2
611, 2, 29, 39, 40, 60iprodclim 25264 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wrex 2667  cvv 2916   class class class wbr 4172   cmpt 4226  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cc0 8946   cmul 8951  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999   cseq 11278   cli 12233  cprod 25184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185
 Copyright terms: Public domain W3C validator