Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgapprmolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgapprmolem 15603
 Description: Lemma for prmgapprmo 15604: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgapprmolem ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15246 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
21ad2antlr 759 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
3 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
4 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐼𝑝𝐼))
53, 4anbi12d 743 . . . . 5 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼)))
65adantl 481 . . . 4 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼)))
7 pm3.22 464 . . . . . 6 ((𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
873adant1 1072 . . . . 5 ((𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
98adantl 481 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
102, 6, 9rspcedvd 3289 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼))
11 prmdvdsprmop 15585 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
1210, 11r19.29a 3060 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼))
13 nnnn0 11176 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 prmocl 15576 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
16 elfzuz 12209 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
17 eluz2nn 11602 . . . . 5 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19 nnaddcl 10919 . . . 4 (((#p𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
2015, 18, 19syl2an 493 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
2118adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22 ncoprmgcdgt1b 15202 . . 3 ((((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2320, 21, 22syl2anc 691 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2412, 23mpbid 221 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223  #pcprmo 15573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-prmo 15574 This theorem is referenced by:  prmgapprmo  15604
 Copyright terms: Public domain W3C validator