MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqid 12708
Description: Discard the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or whatever the identity 𝑍 is for operation +). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid.1 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
seqid.2 (𝜑𝑍𝑆)
seqid.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqid.4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
seqid.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
seqid (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem seqid
StepHypRef Expression
1 seqid.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 11573 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seq1 12676 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5 seqeq1 12666 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
65fveq1d 6105 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
76eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
84, 7syl5ibcom 234 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
9 eluzel2 11568 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 seqm1 12680 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
1210, 11sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
13 seqid.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑆)
14 seqid.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
1514ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
16 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
17 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
1816, 17eqeq12d 2625 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
1918rspcv 3278 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
2013, 15, 19sylc 63 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
22 eluzp1m1 11587 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2310, 22sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
24 seqid.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
2524adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
2621, 23, 25seqid3 12707 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
2726oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
28 seqid.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
3015adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
31 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑁) → 𝑥 = (𝐹𝑁))
3331, 32eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁)))
3433rspcv 3278 . . . . . 6 ((𝐹𝑁) ∈ 𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥 → (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁)))
3529, 30, 34sylc 63 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
3612, 27, 353eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
3736ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
38 uzp1 11597 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
391, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
408, 37, 39mpjaod 395 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
41 eqidd 2611 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
421, 40, 41seqfeq2 12686 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664
This theorem is referenced by:  seqcoll  13105  sumrblem  14289  prodrblem  14498  logtayl  24206  leibpilem2  24468
  Copyright terms: Public domain W3C validator