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Theorem tfrlem1 7335
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ On)
tfrlem1.2 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
tfrlem1.3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
tfrlem1.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
tfrlem1.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
tfrlem1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3585 . 2 𝐴𝐴
2 tfrlem1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 sseq1 3587 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
4 raleq 3113 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
53, 4imbi12d 332 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
65imbi2d 328 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7 sseq1 3587 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
8 raleq 3113 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
97, 8imbi12d 332 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
109imbi2d 328 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
11 r19.21v 2941 . . . . 5 (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
12 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1312ad4antr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1413simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐹)
15 funfn 5818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
1614, 15sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17 eloni 5635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
1817ad3antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → Ord 𝑦)
19 ordelss 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑦𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
2018, 19sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
21 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑦𝐴)
2220, 21sstrd 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
2313simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
2422, 23sstrd 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
25 fnssres 5903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
2616, 24, 25syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
27 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
2827ad4antr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
2928simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐺)
30 funfn 5818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
3129, 30sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
3228simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐺)
3322, 32sstrd 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐺)
34 fnssres 5903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝑤 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
3531, 33, 34syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
36 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑢𝑤)
37 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝑦)
38 simp-4r 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
3922adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝐴)
40 sseq1 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
41 raleq 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4240, 41imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
4342rspcv 3276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
4437, 38, 39, 43syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
45 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
46 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑢))
4745, 46eqeq12d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
4847rspcv 3276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢𝑤 → (∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
4936, 44, 48sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢))
50 fvres 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢𝑤 → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
52 fvres 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢𝑤 → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5449, 51, 533eqtr4d 2652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = ((𝐺𝑤)‘𝑢))
5526, 35, 54eqfnfvd 6206 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
5655fveq2d 6091 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐵‘(𝐹𝑤)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
57 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
5857sselda 3566 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
59 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
6059ad4antr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
61 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
62 reseq2 5298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
6362fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐹𝑥)) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
6461, 63eqeq12d 2623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤))))
6564rspcva 3278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥))) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
6658, 60, 65syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
67 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
6867ad4antr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
69 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
70 reseq2 5298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
7170fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐺𝑥)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7269, 71eqeq12d 2623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤))))
7372rspcva 3278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥))) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7458, 68, 73syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7556, 66, 743eqtr4d 2652 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7675ralrimiva 2947 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7761, 69eqeq12d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
7877cbvralv 3145 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7976, 78sylibr 222 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
8079exp31 627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ On) → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
8180expcom 449 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8281a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → ((𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8311, 82syl5bi 230 . . . 4 (𝑦 ∈ On → (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
846, 10, 83tfis3 6925 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
852, 84mpcom 37 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
861, 85mpi 20 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2894  wss 3538  dom cdm 5027  cres 5029  Ord word 5624  Oncon0 5625  Fun wfun 5783   Fn wfn 5784  cfv 5789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2588  ax-sep 4702  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6823
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2460  df-mo 2461  df-clab 2595  df-cleq 2601  df-clel 2604  df-nfc 2738  df-ne 2780  df-ral 2899  df-rex 2900  df-rab 2903  df-v 3173  df-sbc 3401  df-csb 3498  df-dif 3541  df-un 3543  df-in 3545  df-ss 3552  df-pss 3554  df-nul 3873  df-if 4035  df-sn 4124  df-pr 4126  df-tp 4128  df-op 4130  df-uni 4366  df-br 4577  df-opab 4637  df-mpt 4638  df-tr 4674  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-ord 5628  df-on 5629  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-fv 5797
This theorem is referenced by:  tfrlem5  7339
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