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Theorem tfrlem1 7063
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
tfrlem1.2  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
tfrlem1.3  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
tfrlem1.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
tfrlem1.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlem1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3518 . 2  |-  A  C_  A
2 tfrlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
4 raleq 3054 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
53, 4imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
7 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
8 raleq 3054 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
97, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
11 r19.21v 2862 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
12 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1312ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1413simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  F )
15 funfn 5623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  F  Fn  dom  F )
17 eloni 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  Ord  y )
19 ordelss 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  y  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
2018, 19sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
21 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  y  C_  A )
2220, 21sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  A )
2313simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  F )
2422, 23sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  F )
25 fnssres 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  w  C_  dom  F
)  ->  ( F  |`  w )  Fn  w
)
2616, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  Fn  w )
27 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
2827ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
2928simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  G )
30 funfn 5623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  <->  G  Fn  dom  G )
3129, 30sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  G  Fn  dom  G )
3228simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  G )
3322, 32sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  G )
34 fnssres 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  dom  G  /\  w  C_  dom  G
)  ->  ( G  |`  w )  Fn  w
)
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G  |`  w )  Fn  w )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  u  e.  w )
37 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  e.  y )
38 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
3922adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  C_  A )
40 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
z  C_  A  <->  w  C_  A
) )
41 raleq 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4240, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4342rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  ->  ( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4437, 38, 39, 43syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  ( G `  x )  =  ( G `  u ) )
4745, 46eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
4847rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  w  ->  ( A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
4936, 44, 48sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) )
50 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  w  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
52 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  w  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5449, 51, 533eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( ( G  |`  w ) `  u
) )
5526, 35, 54eqfnfvd 5985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  =  ( G  |`  w
) )
5655fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( B `  ( F  |`  w ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  A )
5857sselda 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  A )
59 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
6059ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
61 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
62 reseq2 5278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  w
) )
6362fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( F  |`  x ) )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
6461, 63eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  <->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) ) )
6564rspcva 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
6658, 60, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
67 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
6867ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
69 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
70 reseq2 5278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( G  |`  x )  =  ( G  |`  w
) )
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( G  |`  x ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7269, 71eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( G `  x
)  =  ( B `
 ( G  |`  x ) )  <->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) ) )
7372rspcva 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7458, 68, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7556, 66, 743eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
7675ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
7761, 69eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
7877cbvralv 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x )  <->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
7976, 78sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
8079exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( A. z  e.  y  (
z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  -> 
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
8180expcom 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
8281a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
8311, 82syl5bi 217 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y 
( ph  ->  ( z 
C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
846, 10, 83tfis3 6691 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
852, 84mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
861, 85mpi 17 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   Ord word 4886   Oncon0 4887   dom cdm 5008    |` cres 5010   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   ` cfv 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602
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