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Theorem tfrlem1 7098
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
tfrlem1.2  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
tfrlem1.3  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
tfrlem1.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
tfrlem1.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlem1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3483 . 2  |-  A  C_  A
2 tfrlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
4 raleq 3025 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
53, 4imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
65imbi2d 317 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
7 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
8 raleq 3025 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
97, 8imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
109imbi2d 317 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
11 r19.21v 2830 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
12 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1312ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1413simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  F )
15 funfn 5626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
1614, 15sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  F  Fn  dom  F )
17 eloni 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
1817ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  Ord  y )
19 ordelss 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  y  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
2018, 19sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
21 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  y  C_  A )
2220, 21sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  A )
2313simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  F )
2422, 23sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  F )
25 fnssres 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  w  C_  dom  F
)  ->  ( F  |`  w )  Fn  w
)
2616, 24, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  Fn  w )
27 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
2827ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
2928simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  G )
30 funfn 5626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  <->  G  Fn  dom  G )
3129, 30sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  G  Fn  dom  G )
3228simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  G )
3322, 32sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  G )
34 fnssres 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  dom  G  /\  w  C_  dom  G
)  ->  ( G  |`  w )  Fn  w
)
3531, 33, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G  |`  w )  Fn  w )
36 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  u  e.  w )
37 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  e.  y )
38 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
3922adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  C_  A )
40 sseq1 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
z  C_  A  <->  w  C_  A
) )
41 raleq 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4240, 41imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4342rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  ->  ( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4437, 38, 39, 43syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
45 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
46 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  ( G `  x )  =  ( G `  u ) )
4745, 46eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
4847rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  w  ->  ( A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
4936, 44, 48sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) )
50 fvres 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  w  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
5150adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
52 fvres 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  w  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5352adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5449, 51, 533eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( ( G  |`  w ) `  u
) )
5526, 35, 54eqfnfvd 5990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  =  ( G  |`  w
) )
5655fveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( B `  ( F  |`  w ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  A )
5857sselda 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  A )
59 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
6059ad4antr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
61 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
62 reseq2 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  w
) )
6362fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( F  |`  x ) )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
6461, 63eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  <->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) ) )
6564rspcva 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
6658, 60, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
67 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
6867ad4antr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
69 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
70 reseq2 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( G  |`  x )  =  ( G  |`  w
) )
7170fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( G  |`  x ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7269, 71eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( G `  x
)  =  ( B `
 ( G  |`  x ) )  <->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) ) )
7372rspcva 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7458, 68, 73syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7556, 66, 743eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
7675ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
7761, 69eqeq12d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
7877cbvralv 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x )  <->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
7976, 78sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
8079exp31 607 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( A. z  e.  y  (
z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  -> 
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
8180expcom 436 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
8281a2d 29 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
8311, 82syl5bi 220 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y 
( ph  ->  ( z 
C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
846, 10, 83tfis3 6694 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
852, 84mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
861, 85mpi 21 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    C_ wss 3436   dom cdm 4849    |` cres 4851   Ord word 5437   Oncon0 5438   Fun wfun 5591    Fn wfn 5592   ` cfv 5597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-fv 5605
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