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Theorem tfrlem1 6834
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
tfrlem1.2  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
tfrlem1.3  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
tfrlem1.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
tfrlem1.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlem1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3374 . 2  |-  A  C_  A
2 tfrlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 sseq1 3376 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
4 raleq 2916 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
53, 4imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
7 sseq1 3376 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
8 raleq 2916 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
97, 8imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
109imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
11 r19.21v 2802 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
12 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  ph )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ph )
14 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  F )
17 funfn 5446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  F  Fn  dom  F )
19 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  y  e.  On )
20 eloni 4728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  Ord  y )
22 ordelss 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  y  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
2321, 22sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
24 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  y  C_  A )
2523, 24sstrd 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  A )
2615simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  F )
2725, 26sstrd 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  F )
28 fnssres 5523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  w  C_  dom  F
)  ->  ( F  |`  w )  Fn  w
)
2918, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  Fn  w )
30 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
3113, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
3231simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  G )
33 funfn 5446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
G  <->  G  Fn  dom  G )
3432, 33sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  G  Fn  dom  G )
3531simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  G )
3625, 35sstrd 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  G )
37 fnssres 5523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  Fn  dom  G  /\  w  C_  dom  G
)  ->  ( G  |`  w )  Fn  w
)
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G  |`  w )  Fn  w )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  u  e.  w )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  e.  y )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4325adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  C_  A )
44 sseq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z  C_  A  <->  w  C_  A
) )
45 raleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4644, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4746rspcv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  ->  ( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4840, 42, 43, 47syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
49 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
50 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  ( G `  x )  =  ( G `  u ) )
5149, 50eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
5251rspcv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  w  ->  ( A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
5339, 48, 52sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) )
54 fvres 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  w  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
56 fvres 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  w  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5853, 55, 573eqtr4d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( ( G  |`  w ) `  u
) )
5929, 38, 58eqfnfvd 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  =  ( G  |`  w
) )
6059fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( B `  ( F  |`  w ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  A )
6261sselda 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  A )
63 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
6413, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
65 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
66 reseq2 5104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  w
) )
6766fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( F  |`  x ) )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
6865, 67eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  <->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) ) )
6968rspcva 3070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
7062, 64, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
71 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
7213, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
73 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
74 reseq2 5104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( G  |`  x )  =  ( G  |`  w
) )
7574fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( G  |`  x ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7673, 75eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( G `  x
)  =  ( B `
 ( G  |`  x ) )  <->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) ) )
7776rspcva 3070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7862, 72, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7960, 70, 783eqtr4d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
8079ralrimiva 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
8165, 73eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
8281cbvralv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x )  <->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
8380, 82sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
8483exp31 604 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( A. z  e.  y  (
z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  -> 
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
8584expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
8685a2d 26 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
8711, 86syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y 
( ph  ->  ( z 
C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
8810, 87tfis2 6466 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
896, 88vtoclga 3035 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
902, 89mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
911, 90mpi 17 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   Ord word 4717   Oncon0 4718   dom cdm 4839    |` cres 4841   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   ` cfv 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-fv 5425
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