MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Unicode version

Theorem eqfnfvd 5960
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5957 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    Fn wfn 5565   ` cfv 5570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6178  f1eqcocnv  6179  offveq  6534  tfrlem1  7037  ackbij2lem2  8611  ackbij2lem3  8612  fpwwe2lem8  9004  seqfeq2  12112  seqfeq  12114  seqfeq3  12139  ccatlid  12592  ccatrid  12593  ccatass  12594  swrdid  12644  ccatswrd  12672  swrdccat1  12673  swrdccat2  12674  swrdswrd  12676  cats1un  12692  swrdccatin1  12699  swrdccatin2  12703  swrdccatin12  12707  revccat  12731  revrev  12732  cshco  12793  swrdco  12794  seqshft  13000  seq1st  14284  xpsfeq  15053  yonedainv  15749  pwsco1mhm  16200  f1otrspeq  16671  pmtrfinv  16685  symgtrinv  16696  frgpup3lem  16994  ablfac1eu  17319  psrlidm  18251  psrlidmOLD  18252  psrridm  18253  psrridmOLD  18254  psrass1  18255  subrgascl  18358  evlslem1  18379  psgndiflemB  18809  frlmup1  19000  frlmup3  19002  frlmup4  19003  mavmulass  19218  upxp  20290  uptx  20292  cnextfres  20734  ovolshftlem1  22086  volsup  22132  dvidlem  22485  dvrec  22524  dveq0  22567  dv11cn  22568  ftc1cn  22610  coemulc  22818  aannenlem1  22890  ulmuni  22953  ulmdv  22964  ostthlem1  24010  nvinvfval  25733  sspn  25847  kbass2  27234  xppreima2  27709  indpreima  28254  esumcvg  28315  signstres  28796  subfacp1lem4  28891  cvmliftmolem2  28991  msubff1  29180  iprodefisumlem  29364  ftc1cnnc  30329  ismrcd2  30871  dvconstbi  31480  icccncfext  31929  etransclem35  32291  ccatpfx  32637  pfxccat1  32638  pfxccatin12  32653  zrinitorngc  33062  zrtermorngc  33063  zrtermoringc  33132  eqlkr3  35223  cdleme51finvN  36679
  Copyright terms: Public domain W3C validator