MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Unicode version

Theorem eqfnfvd 5978
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5975 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    Fn wfn 5583   ` cfv 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6191  f1eqcocnv  6192  offveq  6545  tfrlem1  7045  ackbij2lem2  8620  ackbij2lem3  8621  fpwwe2lem8  9015  seqfeq2  12098  seqfeq  12100  seqfeq3  12125  ccatlid  12568  ccatrid  12569  ccatass  12570  eqs1  12584  swrdid  12615  ccatswrd  12644  swrdccat1  12645  swrdccat2  12646  swrdswrd  12648  cats1un  12664  swrdccatin1  12671  swrdccatin2  12675  swrdccatin12  12679  revccat  12703  revrev  12704  cshco  12765  swrdco  12766  seqshft  12881  seq1st  14059  xpsfeq  14819  yonedainv  15408  pwsco1mhm  15820  f1otrspeq  16278  pmtrfinv  16292  symgtrinv  16303  frgpup3lem  16601  ablfac1eu  16926  psrlidm  17855  psrlidmOLD  17856  psrridm  17857  psrridmOLD  17858  psrass1  17859  subrgascl  17962  evlslem1  17983  psgndiflemB  18431  frlmup1  18627  frlmup3  18629  frlmup4  18630  mavmulass  18846  upxp  19887  uptx  19889  cnextfres  20331  ovolshftlem1  21683  volsup  21729  dvidlem  22082  dvrec  22121  dveq0  22164  dv11cn  22165  ftc1cn  22207  coemulc  22414  aannenlem1  22486  ulmuni  22549  ulmdv  22560  ostthlem1  23568  nvinvfval  25239  sspn  25353  kbass2  26740  xppreima2  27188  indpreima  27706  esumcvg  27760  subfacp1lem4  28295  cvmliftmolem2  28395  iprodefisumlem  28728  ftc1cnnc  29694  ismrcd2  30263  dvconstbi  30867  eqlkr3  33916  cdleme51finvN  35370
  Copyright terms: Public domain W3C validator