MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Unicode version

Theorem eqfnfvd 5797
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
eqfnfvd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
eqfnfvd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
21ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3 eqfnfvd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 eqfnfvd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
5 eqfnfv 5794 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  A )  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
63, 4, 5syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  =  G  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
72, 6mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    Fn wfn 5410   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  5995  f1eqcocnv  5996  offveq  6340  tfrlem1  6831  ackbij2lem2  8405  ackbij2lem3  8406  fpwwe2lem8  8800  seqfeq2  11825  seqfeq  11827  seqfeq3  11852  ccatlid  12280  ccatrid  12281  ccatass  12282  eqs1  12296  swrdid  12317  ccatswrd  12346  swrdccat1  12347  swrdccat2  12348  swrdswrd  12350  cats1un  12366  swrdccatin1  12370  swrdccatin2  12374  swrdccatin12  12378  revccat  12402  revrev  12403  cshco  12460  swrdco  12461  seqshft  12570  seq1st  13742  xpsfeq  14498  yonedainv  15087  pwsco1mhm  15493  f1otrspeq  15946  pmtrfinv  15960  symgtrinv  15971  frgpup3lem  16267  ablfac1eu  16564  psrlidm  17464  psrlidmOLD  17465  psrridm  17466  psrridmOLD  17467  psrass1  17468  subrgascl  17568  psgndiflemB  17930  frlmup1  18126  frlmup3  18128  frlmup4  18129  mavmulass  18260  upxp  19096  uptx  19098  cnextfres  19540  ovolshftlem1  20892  volsup  20937  dvidlem  21290  dvrec  21329  dveq0  21372  dv11cn  21373  ftc1cn  21415  evlslem1  21425  coemulc  21665  aannenlem1  21737  ulmuni  21800  ulmdv  21811  ostthlem1  22819  nvinvfval  23939  sspn  24053  kbass2  25440  xppreima2  25884  indpreima  26401  esumcvg  26455  subfacp1lem4  26985  cvmliftmolem2  27085  iprodefisumlem  27417  ftc1cnnc  28375  ismrcd2  28944  dvconstbi  29517  eqlkr3  32434  cdleme51finvN  33888
  Copyright terms: Public domain W3C validator