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Theorem revccat 12697
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )

Proof of Theorem revccat
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 12552 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  e. Word  A )
2 revcl 12692 . . . 4  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
3 wrdf 12513 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A  -> 
(reverse `  ( S concat  T
) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A )
4 ffn 5729 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
51, 2, 3, 44syl 21 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
6 revlen 12693 . . . . . . 7  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
71, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
8 ccatlen 12553 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
9 lencl 12522 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
109nn0cnd 10850 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
11 lencl 12522 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
1211nn0cnd 10850 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
13 addcom 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  CC  /\  ( # `  T )  e.  CC )  -> 
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1410, 12, 13syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
158, 14eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
167, 15eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1716oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
1817fneq2d 5670 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  <-> 
(reverse `  ( S concat  T
) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
195, 18mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
20 revcl 12692 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  (reverse `  T )  e. Word  A
)
21 revcl 12692 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  A  ->  (reverse `  S )  e. Word  A
)
22 ccatcl 12552 . . . . 5  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
2320, 21, 22syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
24 wrdf 12513 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) )  e. Word  A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) : ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) --> A )
25 ffn 5729 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) : ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) ) --> A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
2623, 24, 253syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
27 ccatlen 12553 . . . . . . 7  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
2820, 21, 27syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
29 revlen 12693 . . . . . . 7  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
30 revlen 12693 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  S
) )  =  (
# `  S )
)
3129, 30oveqan12rd 6302 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3228, 31eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3332oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) ) )
3433fneq2d 5670 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) )  <->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
3526, 34mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
36 id 22 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
3711nn0zd 10960 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
3837adantl 466 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
39 fzospliti 11821 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
4036, 38, 39syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  \/  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
41 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  S  e. Word  A )
42 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  T  e. Word  A )
43 fzoval 11794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4438, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
4544eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  x  e.  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
47 fznn0sub2 11775 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) ) )
4944adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
5048, 49eleqtrrd 2558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
51 ccatval3 12556 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  (
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5241, 42, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5315oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )
5412adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
5510adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
56 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  1  e.  CC )
5854, 55, 57addsubd 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
5953, 58eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6059oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
62 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  e.  ZZ )
6337, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  ZZ )
6463zcnd 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  CC )
6564ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( # `  T
)  -  1 )  e.  CC )
6610ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( # `  S )  e.  CC )
67 elfzoelz 11793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  ZZ )
6867zcnd 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  CC )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  CC )
7065, 66, 69addsubd 9947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
)  =  ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )
7161, 70eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  -  x )  +  (
# `  S )
) )
7271fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) ) )
73 revfv 12694 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7473adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7552, 72, 743eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
761adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
77 uzid 11092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
7838, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
799adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
80 uzaddcl 11133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) )  /\  ( # `  S )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8178, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
8215, 81eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
83 fzoss2 11817 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( S concat  T ) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  T
) )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  C_  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8584sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
86 revfv 12694 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8776, 85, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8820ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
8921ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
9029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  T ) )  =  ( # `  T
) )
9190oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T )
) )  =  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
9291eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) )  <-> 
x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) ) )
9392biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )
94 ccatval1 12554 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
9588, 89, 93, 94syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  T
) `  x )
)
9675, 87, 953eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
978oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  - 
1 ) )
9855, 54, 57addsubd 9947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
9997, 98eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
10099oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
101100adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
1029nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
103 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  - 
1 )  e.  ZZ )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  ZZ )
105104zcnd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  CC )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( # `  S
)  -  1 )  e.  CC )
107 elfzoelz 11793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
108107zcnd 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  CC )
109108adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  CC )
11012ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  CC )
111106, 109, 110subsub3d 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
112101, 111eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) ) )
11390oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
114113oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
115114adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
116112, 115eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
117116fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S `  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T
) ) ) ) ) )
118 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  S  e. Word  A )
119 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  T  e. Word  A )
120 zaddcl 10899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( # `  S )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
12137, 102, 120syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
122 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  e.  ZZ )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
124123adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
125 fzoval 11794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( # `  T ) ... (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) )
126121, 125syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  =  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )
127126eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  <->  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) ) )
128127biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T ) ... ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 ) ) )
129 fzrev2i 11740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
130124, 128, 129syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
13153oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
132131adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
133102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
134 fzoval 11794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  S
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  S )  -  1 ) ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( 0 ... (
( # `  S )  -  1 ) ) )
136123zcnd 10963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  CC )
137136subidd 9914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )  =  0 )
138 addcl 9570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
13912, 10, 138syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
140139, 57, 54sub32d 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 ) )
141 pncan2 9823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
14212, 10, 141syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
143142oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
144140, 143eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
145137, 144oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  S
)  -  1 ) ) )
146135, 145eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
147146adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
148130, 132, 1473eltr4d 2570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
149 ccatval1 12554 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
)  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
150118, 119, 148, 149syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
15129ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
152151oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
154 fzosubel3 11841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  T ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
155153, 133, 154syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 T ) )  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) )
156152, 155eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
157 revfv 12694 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
158118, 156, 157syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
159117, 150, 1583eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
1601adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
16111adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  NN0 )
162 fzoss1 11816 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  T )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
163 nn0uz 11112 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
164162, 163eleq2s 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  T )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
165161, 164syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
16615oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
167165, 166sseqtr4d 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
168167sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
169160, 168, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
17020ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
17121ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
17290, 31oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  =  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
173172eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  <->  x  e.  (
( # `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
174173biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )
175 ccatval2 12555 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
176170, 171, 174, 175syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
177159, 169, 1763eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
17896, 177jaodan 783 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )  ->  (
(reverse `  ( S concat  T
) ) `  x
)  =  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x ) )
17940, 178syldan 470 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
18019, 35, 179eqfnfvd 5976 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   #chash 12367  Word cword 12494   concat cconcat 12496  reversecreverse 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-concat 12504  df-reverse 12508
This theorem is referenced by:  gsumwrev  16193  efginvrel2  16538
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