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Theorem revccat 12398
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )

Proof of Theorem revccat
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 12266 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( S concat  T )  e. Word  A )
2 revcl 12393 . . . 4  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A
)
3 wrdf 12232 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  e. Word  A  -> 
(reverse `  ( S concat  T
) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A )
4 ffn 5554 . . . 4  |-  ( (reverse `  ( S concat  T ) ) : ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) --> A  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
51, 2, 3, 44syl 21 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) ) )
6 revlen 12394 . . . . . . 7  |-  ( ( S concat  T )  e. Word  A  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
71, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  (
# `  ( S concat  T ) ) )
8 ccatlen 12267 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
9 lencl 12241 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
109nn0cnd 10630 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
11 lencl 12241 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
1211nn0cnd 10630 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
13 addcom 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  CC  /\  ( # `  T )  e.  CC )  -> 
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1410, 12, 13syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
158, 14eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
167, 15eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )
1716oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
1817fneq2d 5497 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  (reverse `  ( S concat  T ) ) ) )  <-> 
(reverse `  ( S concat  T
) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
195, 18mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  Fn  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
20 revcl 12393 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  (reverse `  T )  e. Word  A
)
21 revcl 12393 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  A  ->  (reverse `  S )  e. Word  A
)
22 ccatcl 12266 . . . . 5  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
2320, 21, 22syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  e. Word  A )
24 wrdf 12232 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) )  e. Word  A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) : ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) --> A )
25 ffn 5554 . . . 4  |-  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) : ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) ) --> A  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
2623, 24, 253syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) ) )
27 ccatlen 12267 . . . . . . 7  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
2820, 21, 27syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  (reverse `  T )
)  +  ( # `  (reverse `  S )
) ) )
29 revlen 12394 . . . . . . 7  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
30 revlen 12394 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  S
) )  =  (
# `  S )
)
3129, 30oveqan12rd 6106 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3228, 31eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )  =  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )
3332oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) ) )
3433fneq2d 5497 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( # `  (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) ) )  <->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
3526, 34mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
)  Fn  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
36 id 22 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
3711nn0zd 10737 . . . . 5  |-  ( T  e. Word  A  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
3837adantl 466 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
39 fzospliti 11573 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
4036, 38, 39syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  \/  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) ) )
41 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  S  e. Word  A )
42 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  T  e. Word  A )
43 fzoval 11546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  T
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4438, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
4544eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) )  <->  x  e.  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T )  -  1 ) ) )
47 fznn0sub2 11480 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  T )  -  1 ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  T
)  -  1 ) ) )
4944adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  T ) )  =  ( 0 ... (
( # `  T )  -  1 ) ) )
5048, 49eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
51 ccatval3 12270 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  (
( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5241, 42, 50, 51syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )  =  ( T `  (
( ( # `  T
)  -  1 )  -  x ) ) )
5315oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )
5412adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
5510adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
56 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  1  e.  CC )
5854, 55, 57addsubd 9732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
5953, 58eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  T
)  -  1 )  +  ( # `  S
) ) )
6059oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
) )
62 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )  - 
1 )  e.  ZZ )
6337, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  ZZ )
6463zcnd 10740 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. Word  A  ->  (
( # `  T )  -  1 )  e.  CC )
6564ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( # `  T
)  -  1 )  e.  CC )
6610ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( # `  S )  e.  CC )
67 elfzoelz 11545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  ZZ )
6867zcnd 10740 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  T )
)  ->  x  e.  CC )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  CC )
7065, 66, 69addsubd 9732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  -  1 )  +  ( # `  S
) )  -  x
)  =  ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) )
7161, 70eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  -  1 )  -  x )  +  (
# `  S )
) )
7271fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( ( ( # `  T
)  -  1 )  -  x )  +  ( # `  S
) ) ) )
73 revfv 12395 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7473adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  T
) `  x )  =  ( T `  ( ( ( # `  T )  -  1 )  -  x ) ) )
7552, 72, 743eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
761adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
77 uzid 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  T )  e.  ZZ  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
7838, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
799adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
80 uzaddcl 10903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) )  /\  ( # `  S )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T ) ) )
8178, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
8215, 81eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  T
) ) )
83 fzoss2 11569 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( S concat  T ) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  T
) )  ->  (
0..^ ( # `  T
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  T ) )  C_  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
8584sselda 3351 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
86 revfv 12395 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8776, 85, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
8820ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
8921ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
9029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  (reverse `  T ) )  =  ( # `  T
) )
9190oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T )
) )  =  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
9291eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) )  <-> 
x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) ) )
9392biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )
94 ccatval1 12268 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  T ) `  x ) )
9588, 89, 93, 94syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  T
) `  x )
)
9675, 87, 953eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
978oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  - 
1 ) )
9855, 54, 57addsubd 9732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  -  1 )  =  ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
9997, 98eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  +  ( # `  T
) ) )
10099oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
101100adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
1029nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
103 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  - 
1 )  e.  ZZ )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  ZZ )
105104zcnd 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  (
( # `  S )  -  1 )  e.  CC )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( # `  S
)  -  1 )  e.  CC )
107 elfzoelz 11545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
108107zcnd 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  CC )
109108adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  CC )
11012ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  T )  e.  CC )
111106, 109, 110subsub3d 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) )  =  ( ( ( (
# `  S )  -  1 )  +  ( # `  T
) )  -  x
) )
112101, 111eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T
) ) ) )
11390oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
114113oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
115114adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  T ) ) ) )
116112, 115eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( # `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
117116fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S `  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  S
)  -  1 )  -  ( x  -  ( # `  (reverse `  T
) ) ) ) ) )
118 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  S  e. Word  A )
119 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  T  e. Word  A )
120 zaddcl 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( # `  S )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
12137, 102, 120syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ )
122 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  e.  ZZ )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
124123adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ )
125 fzoval 11546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( # `  T ) ... (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) )
126121, 125syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  =  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )
127126eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  <->  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) ) )
128127biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T ) ... ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 ) ) )
129 fzrev2i 11513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  T
) ... ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
130124, 128, 129syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x )  e.  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
13153oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
132131adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  x ) )
133102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
134 fzoval 11546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  S
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  S )  -  1 ) ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( 0 ... (
( # `  S )  -  1 ) ) )
136123zcnd 10740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  1 )  e.  CC )
137136subidd 9699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) )  =  0 )
138 addcl 9356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
13912, 10, 138syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  e.  CC )
140139, 57, 54sub32d 9743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 ) )
141 pncan2 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  CC  /\  ( # `  S )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
14212, 10, 141syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
)  -  ( # `  T ) )  =  ( # `  S
) )
143142oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  -  1 )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
144140, 143eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) )  =  ( ( # `  S
)  -  1 ) )
145137, 144oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  S
)  -  1 ) ) )
146135, 145eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
147146adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  S ) )  =  ( ( ( ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 )  -  (
( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) )  - 
1 ) ) ... ( ( ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) )  -  1 )  -  ( # `  T ) ) ) )
148130, 132, 1473eltr4d 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
149 ccatval1 12268 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A  /\  (
( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
)  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
150118, 119, 148, 149syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( S `  ( ( ( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) ) )
15129ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( # `  (reverse `  T
) )  =  (
# `  T )
)
152151oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  =  ( x  -  ( # `
 T ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
154 fzosubel3 11593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  T ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
155153, 133, 154syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 T ) )  e.  ( 0..^ (
# `  S )
) )
156152, 155eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
157 revfv 12395 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
158118, 156, 157syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( (
# `  S )  -  1 )  -  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) ) )
159117, 150, 1583eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  ( (
( # `  ( S concat  T ) )  - 
1 )  -  x
) )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
1601adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  A )
16111adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( # `  T
)  e.  NN0 )
162 fzoss1 11568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  T )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
163 nn0uz 10887 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
164162, 163eleq2s 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  T )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
165161, 164syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
16615oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )
167165, 166sseqtr4d 3388 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
168167sselda 3351 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
169160, 168, 86syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 ( ( (
# `  ( S concat  T ) )  -  1 )  -  x ) ) )
17020ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  T )  e. Word  A )
17121ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
(reverse `  S )  e. Word  A )
17290, 31oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  =  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) )
173172eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  ( x  e.  ( ( # `  (reverse `  T ) )..^ ( ( # `  (reverse `  T ) )  +  ( # `  (reverse `  S ) ) ) )  <->  x  e.  (
( # `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )
174173biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )
175 ccatval2 12269 . . . . . 6  |-  ( ( (reverse `  T )  e. Word  A  /\  (reverse `  S
)  e. Word  A  /\  x  e.  ( ( # `
 (reverse `  T
) )..^ ( (
# `  (reverse `  T
) )  +  (
# `  (reverse `  S
) ) ) ) )  ->  ( (
(reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x )  =  ( (reverse `  S ) `  ( x  -  ( # `
 (reverse `  T
) ) ) ) )
176170, 171, 174, 175syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )  =  ( (reverse `  S
) `  ( x  -  ( # `  (reverse `  T ) ) ) ) )
177159, 169, 1763eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
17896, 177jaodan 783 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  T ) )  \/  x  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  S ) ) ) ) )  ->  (
(reverse `  ( S concat  T
) ) `  x
)  =  ( ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) `  x ) )
17940, 178syldan 470 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  S )
) ) )  -> 
( (reverse `  ( S concat  T ) ) `  x )  =  ( ( (reverse `  T
) concat  (reverse `  S )
) `  x )
)
18019, 35, 179eqfnfvd 5795 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  T  e. Word  A )  ->  (reverse `  ( S concat  T ) )  =  ( (reverse `  T ) concat  (reverse `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   concat cconcat 12215  reversecreverse 12219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-reverse 12227
This theorem is referenced by:  gsumwrev  15872  efginvrel2  16215
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