MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovcl 6663
Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
fovcl.1 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
Assertion
Ref Expression
fovcl ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fovcl.1 . . 3 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2 ffnov 6662 . . . 4 (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
32simprbi 479 . . 3 (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 → ∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
41, 3ax-mp 5 . 2 𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶
5 oveq1 6556 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦))
65eleq1d 2672 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
7 oveq2 6557 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵))
87eleq1d 2672 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
96, 8rspc2v 3293 . 2 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑅𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
104, 9mpi 20 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   × cxp 5036   Fn wfn 5799  wf 5800  (class class class)co 6549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552
This theorem is referenced by:  addclnq  9646  mulclnq  9648  adderpq  9657  mulerpq  9658  distrnq  9662  axaddcl  9851  axmulcl  9853  xaddcl  11944  xmulcl  11975  elfzoelz  12339  addcnlem  22475  sgmcl  24672  hvaddcl  27253  hvmulcl  27254  hicl  27321  hhssabloilem  27502  rmxynorm  36501  rmxyneg  36503  rmxy1  36505  rmxy0  36506  rmxp1  36515  rmyp1  36516  rmxm1  36517  rmym1  36518  rmxluc  36519  rmyluc  36520  rmyluc2  36521  rmxdbl  36522  rmydbl  36523  rmxypos  36532  ltrmynn0  36533  ltrmxnn0  36534  lermxnn0  36535  rmxnn  36536  ltrmy  36537  rmyeq0  36538  rmyeq  36539  lermy  36540  rmynn  36541  rmynn0  36542  rmyabs  36543  jm2.24nn  36544  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  jm2.24  36548  rmygeid  36549  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.19lem2  36575  jm2.19  36578  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.20nn  36582  jm2.25  36584  jm2.26a  36585  jm2.26lem3  36586  jm2.26  36587  jm2.15nn0  36588  jm2.16nn0  36589  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592  rmydioph  36599  rmxdiophlem  36600  jm3.1lem1  36602  jm3.1  36605  expdiophlem1  36606
  Copyright terms: Public domain W3C validator